テキストエディタの入力フィールドで右クリック -> 入力メソッド。
[ SCIM Bridge input Method ]
を選択、もしくは
[ SCIM input Method ]
を選択。です。

う〜ん、個人的には　sudo gedit の方が楽なのですが、、、

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皆様ありがとうございます。
petitbootangさんいつもありがとうございます。
説明がわるくて申し訳ありません。petitbootangさんが解説してくれた通りです。デフォルトユーザーと一般ユーザーと言う言い方が正しいでしょうか？
hir0さんのおしえてくれた右クリックで動きました。（Ubuntuバージョンは違いますがこのトピックに近い記事をみつけました。）
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=3622
ありがとうございます。

sudoで日本語入力ができるようになりました。
しかし不思議なことにAnthyアイコンが左上に二つ出てきてしまって…、これは正常なんでしょうか？

通常（$sudo geditしていない時）にpsしてみると、
oosamuuy    3887  0.0  0.5  17088  5112 ?        Ss   08:56   0:00 /usr/lib/scim-1.0/scim-helper-launcher --daemon --config socket --display :0.0 anthy-imengine-helper 24a65e2b-10a8-4d4c-adc9-266678cb1a38
oosamuuy    3937  0.0  0.0   3104   816 pts/0    S+   08:56   0:00 grep anthy

なのですが、

$sudo geditから右クリック、入力メソッド、SCIM Bridge Input Methodを選ぶとAnthyアイコンが二つ右上に現れて…、psすると、
oosamuuy    3887  0.0  0.5  17088  5112 ?        Ss   08:56   0:00 /usr/lib/scim-1.0/scim-helper-launcher --daemon --config socket --display :0.0 anthy-imengine-helper 24a65e2b-10a8-4d4c-adc9-266678cb1a38
root      4385  0.0  0.3  16200  3508 ?        Ss   09:02   0:00 /usr/lib/scim-1.0/scim-helper-launcher --daemon --config socket --display :0.0 anthy-imengine-helper 24a65e2b-10a8-4d4c-adc9-266678cb1a38
oosamuuy    4387  0.0  0.0   3104   800 pts/1    R+   09:02   0:00 grep anthy

oosamuuyとrootなので違うプロセスなのは当たり前のような気がしますが、Anthyアイコンが二つ出ていて動作が不安定です。。

しかし、現時点で日本語入力ができるようになりました。
ありがとうございます。また自分でいろいろ調べてみて、上手に説明できるようになったらトピック上げます。
いろいろありがとうございます。

私の環境ではnautilus-gksuからテキストファイルを開いて日本語入力は出来ませんでした。
nautilus-gksuは今回検証の為、初導入です。
sudo geditについては未確認ですね、よく考えて見るとsudo geditで日本語入力を使用したことがないかも。

二重起動についてはフォーラムでscimで検索すると良いかも。

解決されて何よりです。