試したことはないので、できるかどうか判りませんが、ctrl+alt+F1などとしてCUIコンソールを表示し、そこからログインするとログインできたりしないでしょうか。それができれば、vigrコマンドでグループファイルを修正できるのですが。
ダメならLiveCDかなにかを持ってきて、/etc以下の関連ファイルを手動編集するしかないのかしら。それは極力避けたいですね。。

※規約違反により追放されたユーザの投稿は、ログインユーザにのみ表示されます。

※規約違反により追放されたユーザの投稿は、ログインユーザにのみ表示されます。

なぜ、root でログインスクリーンからログインしたいのか分かりませんが、下記のようにすれば一応出来ます。
ただし、全くお勧めはいたしません。ことさら、root でログインしたい理由が解消されたら元に戻すことを強くお勧めします。

①メニュー -> システム -> システム管理 -> ログイン画面を開きます。
セキュリティタブをクリックし、システム管理者(ローカル)のログインを許可する(A)にチェックして閉じる。
②続いて、システム -> システム管理 -> ユーザとグループを開き、ロックの解除をクリックしてユーザのパスワードを入力。
左側のペインに root とユーザが表示されているはずなので、root をダブルクリック。
'root' のプロパティが開くので、パスワードを手動で設定するで、root のパスワードを設定して、OK、閉じる。

※上記の②は、端末より、
$ sudo -s
$ passwd root
としても OK です。

ユーザをrootグループに変更して、再起動すると
ログインしようとするとスクリーン画面からこんなメッセージがでます。
＜システム管理者はこのスクリーンからのログインを許可していません。＞

そもそもこんな状態になるんだっけ。と思って以下を試してみました。
1.新規ユーザを作成
2.上記ユーザをvigr, vigr -sでrootグループに追加
3.gdmからログイン。で、ログイン成功
なにか、グループ情報の変更以外の操作をやっていて、そちらが原因ということはないでしょうか。

sudo vipw で GID ではなく UID を 0 にしたら GDM のログインで同じ状況が再現しました．

hoge:x:0:1000:hoge's full name:...

CLI でログインして vipw (hoge の login でUID=0 なので sudo 不要)で

hoge:x:1000:1000:hoge's full name:...

に戻したら復帰しました．

※規約違反により追放されたユーザの投稿は、ログインユーザにのみ表示されます。