私は プロプライエタリなドライバ や ndiswrapper が必要な HW は購入を避けてきましたので，
もしかしたら間違った認識かもしれませんが，
「削除&再インストール」で使おうとしている「Broadcom STA 無線ドライバ」と ndiswrapper が管理するドライバは別物ですよね．
だとすると現在このスレッドには2つの手順が混在することになります．
1つのデバイスに複数のドライバを適用すると互いが干渉しあって良い結果にはならないと思います．

「削除&再インストール」で少なくとも一度は接続できたのですから，nsdiswrapper の方向は保留として，

「再起動後も同じ状態にするにはどうすれば良いか？」

を考えてみませんか？

「削除&再インストール」で接続できた状態と，再起動後の接続できない状態で

$ lsmod

の結果がどう違うか調べてみましょう．

「Broadcom STA 無線ドライバ」が有効状態でインターネットにつながっている状態で
$ lsmodの結果

yuichi@yuichi-laptop:~$ lsmod
Module                  Size  Used by
michael_mic             2204  4
arc4                    1660  2
ecb                     2524  2
lib80211_crypt_tkip     8636  0
wl                   1272936  0
lib80211                6432  2 lib80211_crypt_tkip,wl
binfmt_misc             8356  1
ppdev                   6688  0
snd_hda_codec_idt      59844  1
bridge                 47952  0
stp                     2272  1 bridge
snd_hda_intel          26920  2
snd_hda_codec          75708  2 snd_hda_codec_idt,snd_hda_intel
snd_hwdep               7200  1 snd_hda_codec
bnep                   12060  2
snd_pcm_oss            37920  0
snd_mixer_oss          16028  1 snd_pcm_oss
joydev                 10240  0
btusb                  11856  2
snd_pcm                75296  3 snd_hda_intel,snd_hda_codec,snd_pcm_oss
dell_wmi                2564  0
uvcvideo               59080  0
videodev               36736  1 uvcvideo
v4l1_compat            14496  2 uvcvideo,videodev
snd_seq_dummy           2656  0
iptable_filter          3100  0
nvidia               9586440  40
dell_laptop             8128  0
dcdbas                  7292  1 dell_laptop
snd_seq_oss            28576  0
ricoh_mmc               3676  0
ip_tables              11692  1 iptable_filter
x_tables               16544  1 ip_tables
psmouse                56500  0
serio_raw               5280  0
sdhci_pci               7100  0
sdhci                  17504  1 sdhci_pci
led_class               4096  1 sdhci
ndiswrapper           185532  0
snd_seq_midi            6432  0
snd_rawmidi            22208  1 snd_seq_midi
snd_seq_midi_event      6940  2 snd_seq_oss,snd_seq_midi
snd_seq                50224  6 snd_seq_dummy,snd_seq_oss,snd_seq_midi,snd_seq_midi_event
lp                      8964  0
snd_timer              22276  2 snd_pcm,snd_seq
parport                35340  2 ppdev,lp
snd_seq_device          6920  5 snd_seq_dummy,snd_seq_oss,snd_seq_midi,snd_rawmidi,snd_seq
snd                    59204  16 snd_hda_codec_idt,snd_hda_intel,snd_hda_codec,snd_hwdep,snd_pcm_oss,snd_mixer_oss,snd_pcm,snd_seq_oss,snd_rawmidi,snd_seq,snd_timer,snd_seq_device
soundcore               7264  1 snd
snd_page_alloc          9156  2 snd_hda_intel,snd_pcm
usbhid                 38208  0
ohci1394               29900  0
ieee1394               86596  1 ohci1394
tg3                   109600  0
video                  19380  0
output                  2780  1 video
intel_agp              27484  0
agpgart                34988  2 nvidia,intel_agp
yuichi@yuichi-laptop:~$

接続出来ている状態では，

arc4                    1660  2
ecb                     2524  2
lib80211                6432  2 lib80211_crypt_tkip,wl
lib80211_crypt_tkip     8636  0
michael_mic             2204  4
wl                   1272936  0

のドライバが追加でロードされています．このうちの wl が 「Broadcom　STA　無線ドライバ」 です．
接続が出来ていない状態から，

$ iwconfig
$ sudo modprobe wl
$ iwconfig

と順に入力して1番目と3番目の iwconfig の結果に違いが生じるか調べてみましょう．2番目のコマンドでエラーになった場合はエラーメッセージも貼り付けてください．

ところで ndiswrapper もロードされています．当面の調査・作業に万が一の影響が無いようにしておきたいところです．ndiswrapper の扱いは知らないのですが，

$ sudo apt-get remove ndiswrapper\*

で良いのでしょうか？

横から失礼致します。
私も同じ症状で悩んでいましたが、ここの皆様の書き込みを参考にしながら、解決できたので、参考までに手順をご紹介しておきます。Linuxは超がつくほど初心者なので、説明・表現が間違っていたりする場合があるかもしれませんが、ご辛抱願います。

私のPCはLenovo S10eで、無線LANはBroadcom 4312のチップのものを搭載しています。
当初、Live USBよりubuntu9.10を動かしておりまして、その時はyou1さんとまったく同じ症状を示しており、STAドライバを導入して再起動しても「有効ですが、使用していません」の状態で、modprobeでwlを入れてみても動かない、/etc/modulesにwlの1行を加えてみてもダメというものでした。
ちなみに、9.04のLive USBだと、無線LANは無事に使えてましたので、STAドライバ自体が悪いのではなく、ドライバと9.10との間で問題が起きているのではないかと疑いました。
事実、海外のフォーラムでもバグが疑われている記述が見受けられました。

その後、wubi環境に9.10をインストールしたのですが、今回は、USBでは容量の都合上できなかった、カーネルのアップデート(2.6.31-14から-20へ)を有線より行いました。
そして、STAドライバを導入してみて、再起動をかけてみたところ、同じく「有効ですが、使用していません」の状態だったのですが、modprobe wlをしてみたところ、無事に無線LANが使えるようになりました！
再起動の度にmodprobe wlの作業が必要な状態だったので、/etc/modulesにwlの1行を追加したところ、起動時にきちんと作動してくれるようになりました。
ちなみに、この書き込みも、無線LANを使ってubuntu 9.10より行っています。

この方法を何度も試して検証したわけではないので、偶然の賜物かも知れませんが、一応この方法で解決できました。
最終投稿から1ヶ月以上経っていますが、同じ問題で苦戦されている方々の一助になればと思い書き込みをさせていただきます。
また、最後になりましたが、ここでの皆様のやりとりは非常に参考になりました。この場をお借りして感謝の念を伝えさせていただきます。
ありがとうございました。