kouderia による投稿:

$ wine dxdiag.exe
ではエラーは出ませんでした。

詳しくはありませんが。。
エラーメッセージもなく終了してしまうということでしょうか。
グラフィックカードの型式と使用しているドライバを投稿いただくと、有用なフォローがつくかも知れません。
多分ですが、3Dサポートが必要になるのではないかと思います。
適切なドライバがインストールされていれば、
$ wine dxdiag.exe --open-gl
で実行してみると、どうなりますでしょうか。

かなり新しい目のものですね。
もう少し古いものならOSSドライバ(radeon)などで動きそうな気がするのですが。。
外来ドライバでは無く、Ubuntuのハードウェアドライバから導入できるものでもダメでしょうか。
radeonドライバが対応しているものかどうか確認していませんが、fglrx(外来、Ubuntu配布共に)でダメならOSSドライバを試すぐらいしかないかも。
radeonドライバなどを試す際は、
http://forlong.blogage.de/entries/pages/Compiz-Check
からCompiz-Checkを落としてきて、OpneGLサポートが有効になっているか確認して下さい。

$wine dxdiag.exe -opengl
でもだめで、fglrxをインストールしようとしたらシステムエラーが出てインストールできませんでした。
$ ./compiz-checkでは

More than one graphics chip detected -- sorry, the script can not handle that.
Aborting.

という表示が出ました。一つ以上グラフィックチップが見つかった？という意味でしょうか？？
openglが有効かどうか分からないです。

CrossFireでも2枚挿しでもなく、マザーボードはGA-M720-US3でグラフィックチップは搭載されてないと思うのですが
なんででしょう。
他にopenglが有効かどうか調べる方法はありますか?

うちでも、その状態ですが、FFベンチくらいなら動いてますよ。あまり気にしないで、目的のアプリを試してみては如何でしょうか？

ためしにFFベンチ入れてみました。
しかし、directx8.1をインストールしろという表示が出ました。
directx9も入れたはずだし、念のためdirectx8.1をインストールしようとしたところ
インストールされているwindowsのバージョンと互換性がないと表示されます。DX81NTjpn.exe、DX81jpn.exeをためしました。
DX81eng.exeだとインストールできましたので、FFベンチを起動させたら同じようにdirectx8.1をインストールしろという表示が
出ました。
virtualboxを入れた方が早いのかもしれませんがマルチブートだからあまり意味ないなぁと思っています。

DirectXのインストールはWarcraftIIIというゲームをインストールする際に、インストールCDに入っていたDirectXインストーラからです。
wineの設定は
「画面」のタブで、Direct3DをVertexShaderをHardwareサポートに、
「オーディオ」のタブで、DirectSoundハードウェアアクセラレーションをFullに、
しています。
あとは、WarcraftIII起動時に-openglオプションを付けるくらいです。

＃１５の設定でDX９をwinetricksでインストールしました。
FFベンチの実行結果です。FFベンチは動きませんでした。

$ wine  'FFXiWinBench.exe' -opengl
fixme:msvcrt:_setmbcp trail bytes data not available for DBCS codepage 0 - assuming all bytes
fixme:msvcrt:_setmbcp trail bytes data not available for DBCS codepage 0 - assuming all bytes
fixme:advapi:SetEntriesInAclA 1 0x33f73c (nil) 0x33f774
fixme:advapi:SetSecurityInfo stub
fixme:advapi:SetEntriesInAclA 1 0x33f728 (nil) 0x33f770
fixme:advapi:SetSecurityInfo stub
fixme:advapi:SetEntriesInAclA 1 0x33f748 (nil) 0x33f790
fixme:advapi:SetSecurityInfo stub
fixme:system:SetProcessDPIAware stub!
fixme:dwmapi:DwmIsCompositionEnabled 0x33f098
fixme:winsock:WSAIoctl unsupported WS_IOCTL cmd (9800012c)
fixme:winsock:WSAIoctl unsupported WS_IOCTL cmd (9800012c)
fixme:iphlpapi:NotifyAddrChange (Handle 0xc3e8d8, overlapped 0xc3e8e0): stub
fixme:msvcrt:_setmbcp trail bytes data not available for DBCS codepage 0 - assuming all bytes
fixme:win:EnumDisplayDevicesW ((null),0,0x32ecc8,0x00000000), stub!
fixme:mixer:ALSA_MixerInit No master control found on HD-Audio Generic, disabling mixer
fixme:dsalsa:IDsDriverBufferImpl_SetVolumePan (0x161b70,0x161fa0): stub
fixme:dinput:SysMouseAImpl_Acquire Clipping cursor to (0,0)-(640,480)
fixme:imm:ImmGetDescriptionW (0xe0010411, (nil), 0): semi stub
fixme:imm:ImmGetDescriptionW (0xe0010411, 0x1a6178, 9): semi stub
wine: Unhandled page fault on read access to 0x00000000 at address 0x6e0609 (thread 0009), starting debugger...
Unhandled exception: page fault on read access to 0x00000000 in 32-bit code (0x006e0609).
err:dbghelp_msc:pe_load_debug_directory Got a page fault while loading symbols
Register dump:
CS:0023 SS:002b DS:002b ES:002b FS:0063 GS:006b
EIP:006e0609 ESP:0032ed00 EBP:0032ef54 EFLAGS:00010246(  R- --  I  Z- -P- )
EAX:0032ef6c EBX:0dcfe6b0 ECX:000007d3 EDX:0032efa0
ESI:00000000 EDI:00000000
Stack dump:
0x0032ed00:  000007d3 00000030 0dcfe6b0 00000000
0x0032ed10:  7bc9bff4 7bc6fe59 7bc9bff4 0032eedc
0x0032ed20:  7bc84866 7bca4e00 0032ed7c 0032eec8
0x0032ed30:  00000040 0032ef38 00000028 0032edc8
0x0032ed40:  00000004 00000000 00000000 3f800000
0x0032ed50:  7d518323 7bda44f0 00000000 00000000
Backtrace:
=>0 0x006e0609 in ffxiwinbench (+0x2e0609) (0x0032ef54)
  1 0x006daad4 in ffxiwinbench (+0x2daad3) (0x0032ef8c)
  2 0x00438b98 in ffxiwinbench (+0x38b97) (0x80000000)
0x006e0609: movb    0x0(%edi),%bl
Modules:
Module    Address            Debug info    Name (92 modules)
PE      400000- 106a000    Export          ffxiwinbench
ELF    7af91000-7afb7000    Deferred        msacm32<elf>
  \-PE    7afa0000-7afb7000    \               msacm32
ELF    7afb7000-7b0b3000    Deferred        libvorbisenc.so.2
ELF    7b0b3000-7b100000    Deferred        libflac.so.8
ELF    7b800000-7b93d000    Deferred        kernel32<elf>
  \-PE    7b810000-7b93d000    \               kernel32
ELF    7b949000-7b95f000    Deferred        midimap<elf>
  \-PE    7b950000-7b95f000    \               midimap
ELF    7b95f000-7b998000    Deferred        libdbus-1.so.3
ELF    7b998000-7ba00000    Deferred        libsndfile.so.1
ELF    7bc00000-7bcb8000    Deferred        ntdll<elf>
  \-PE    7bc10000-7bcb8000    \               ntdll
ELF    7bf00000-7bf04000    Deferred        <wine-loader>
ELF    7bf0f000-7bf38000    Deferred        libvorbis.so.0
ELF    7bf38000-7c000000    Deferred        libasound.so.2
ELF    7c00b000-7c024000    Deferred        msacm32<elf>
  \-PE    7c010000-7c024000    \               msacm32
ELF    7c024000-7c02d000    Deferred        libwrap.so.0
ELF    7c02d000-7c03b000    Deferred        libxi.so.6
ELF    7c03b000-7c086000    Deferred        libpulsecommon-0.9.21.so
ELF    7c086000-7c0c8000    Deferred        libpulse.so.0
ELF    7c1d0000-7c208000    Deferred        winealsa<elf>
  \-PE    7c1e0000-7c208000    \               winealsa
ELF    7c208000-7dcbc000    Deferred        fglrx_dri.so
ELF    7dcbc000-7dd72000    Deferred        libgl.so.1
ELF    7de43000-7de4a000    Deferred        libogg.so.0
ELF    7de4a000-7de50000    Deferred        libxtst.so.6
ELF    7de50000-7de7f000    Deferred        libatiadlxx.so
ELF    7dea0000-7debf000    Deferred        libgcc_s.so.1
ELF    7ded2000-7ded9000    Deferred        libasound_module_pcm_pulse.so
ELF    7e3c8000-7e3d2000    Deferred        libxcursor.so.1
ELF    7e3d2000-7e3d8000    Deferred        libxfixes.so.3
ELF    7e3d8000-7e3dc000    Deferred        libxcomposite.so.1
ELF    7e3dc000-7e3e4000    Deferred        libxrandr.so.2
ELF    7e3e4000-7e3ee000    Deferred        libxrender.so.1
ELF    7e3ee000-7e3f4000    Deferred        libxxf86vm.so.1
ELF    7e3f4000-7e3f8000    Deferred        libxinerama.so.1
ELF    7e3f8000-7e3fe000    Deferred        libxdmcp.so.6
ELF    7e3fe000-7e418000    Deferred        libxcb.so.1
ELF    7e418000-7e535000    Deferred        libx11.so.6
ELF    7e535000-7e545000    Deferred        libxext.so.6
ELF    7e545000-7e55e000    Deferred        libice.so.6
ELF    7e565000-7e56e000    Deferred        librt.so.1
ELF    7e56e000-7e576000    Deferred        libatiuki.so.1
ELF    7e578000-7e619000    Deferred        winex11<elf>
  \-PE    7e590000-7e619000    \               winex11
ELF    7e679000-7e6a0000    Deferred        libexpat.so.1
ELF    7e6a0000-7e6d0000    Deferred        libfontconfig.so.1
ELF    7e6d0000-7e6e5000    Deferred        libz.so.1
ELF    7e6e5000-7e75b000    Deferred        libfreetype.so.6
ELF    7e75b000-7e75f000    Deferred        libxau.so.6
ELF    7e75f000-7e764000    Deferred        libuuid.so.1
ELF    7e764000-7e76d000    Deferred        libsm.so.6
ELF    7e775000-7e85c000    Deferred        oleaut32<elf>
  \-PE    7e790000-7e85c000    \               oleaut32
ELF    7e85c000-7e888000    Deferred        ws2_32<elf>
  \-PE    7e860000-7e888000    \               ws2_32
ELF    7e888000-7e8aa000    Deferred        imm32<elf>
  \-PE    7e890000-7e8aa000    \               imm32
ELF    7e8aa000-7e932000    Deferred        winmm<elf>
  \-PE    7e8b0000-7e932000    \               winmm
ELF    7e932000-7e97a000    Deferred        dsound<elf>
  \-PE    7e940000-7e97a000    \               dsound
ELF    7e97a000-7ea78000    Deferred        ole32<elf>
  \-PE    7e990000-7ea78000    \               ole32
ELF    7ea78000-7eab1000    Deferred        dinput<elf>
  \-PE    7ea80000-7eab1000    \               dinput
ELF    7eab1000-7eacc000    Deferred        dinput8<elf>
  \-PE    7eac0000-7eacc000    \               dinput8
ELF    7eacc000-7eb40000    Deferred        rpcrt4<elf>
  \-PE    7eae0000-7eb40000    \               rpcrt4
ELF    7eb40000-7eb9a000    Deferred        advapi32<elf>
  \-PE    7eb50000-7eb9a000    \               advapi32
ELF    7eb9a000-7ec25000    Deferred        gdi32<elf>
  \-PE    7ebb0000-7ec25000    \               gdi32
ELF    7ec25000-7ed56000    Deferred        user32<elf>
  \-PE    7ec40000-7ed56000    \               user32
ELF    7ed56000-7ee8d000    Deferred        wined3d<elf>
  \-PE    7ed60000-7ee8d000    \               wined3d
ELF    7ee8d000-7eebc000    Deferred        d3d8<elf>
  \-PE    7ee90000-7eebc000    \               d3d8
ELF    7efaa000-7efb6000    Deferred        libnss_files.so.2
ELF    7efb6000-7efc0000    Deferred        libnss_nis.so.2
ELF    7efc0000-7efe6000    Deferred        libm.so.6
ELF    7efe9000-7f000000    Deferred        libnsl.so.1
ELF    f7424000-f742c000    Deferred        libnss_compat.so.2
ELF    f742d000-f7431000    Deferred        libdl.so.2
ELF    f7431000-f758b000    Deferred        libc.so.6
ELF    f758c000-f75a5000    Deferred        libpthread.so.0
ELF    f75bf000-f76fa000    Deferred        libwine.so.1
ELF    f76fc000-f771a000    Deferred        ld-linux.so.2
Threads:
process  tid      prio (all id:s are in hex)
00000008 (D) C:\Program Files\FFXiBench3\FFXiWinBench.exe
    0000002a    0
    00000029   15
    00000028    2
    00000027    0
    00000009    0 <==
0000000e services.exe
    0000001d    0
    00000010    0
    0000000f    0
0000001a winedevice.exe
    0000001f    0
    0000001e    0
    0000001c    0
    0000001b    0
00000020 explorer.exe
    00000021    0
Backtrace:
=>0 0x006e0609 in ffxiwinbench (+0x2e0609) (0x0032ef54)
  1 0x006daad4 in ffxiwinbench (+0x2daad3) (0x0032ef8c)
  2 0x00438b98 in ffxiwinbench (+0x38b97) (0x80000000)

ライブラリの設定は次のようにしてます。

"d3d8"="builtin"
"d3d9"="builtin"
"d3dim"="native"
"d3drm"="native"
"d3dx10_33"="native"
"d3dx10_34"="native"
"d3dx10_35"="native"
"d3dx10_36"="native"
"d3dx10_37"="native"
"d3dx10_38"="native"
"d3dx10_39"="native"
"d3dx10_40"="native"
"d3dx10_41"="native"
"d3dx10_42"="native"
"d3dx8"="native"
"d3dx9_24"="native"
"d3dx9_25"="native"
"d3dx9_26"="native"
"d3dx9_27"="native"
"d3dx9_28"="native"
"d3dx9_29"="native"
"d3dx9_30"="native"
"d3dx9_31"="native"
"d3dx9_32"="native"
"d3dx9_33"="native"
"d3dx9_34"="native"
"d3dx9_35"="native"
"d3dx9_36"="native"
"d3dx9_37"="native"
"d3dx9_38"="native"
"d3dx9_39"="native"
"d3dx9_40"="native"
"d3dx9_41"="native"
"d3dx9_42"="native"
"d3dxof"="native"
"dciman32"="native"
"ddrawex"="native"
"devenum"="native"
"dinput"="builtin"
"dinput8"="builtin"
"dmband"="native"
"dmcompos"="native"
"dmime"="native"
"dmloader"="native"
"dmscript"="native"
"dmstyle"="native"
"dmsynth"="native"
"dmusic"="native"
"dmusic32"="native"
"dnsapi"="native"
"dplay"="native"
"dplayx"="native"
"dpnaddr"="native"
"dpnet"="native"
"dpnhpast"="native"
"dpnlobby"="native"
"dsound"="builtin"
"dswave"="native"
"dxdiagn"="native"
"mscoree"="native"
"msdmo"="native"
"msvcp90"="native,builtin"
"msvcr90"="native,builtin"
"qcap"="native"
"quartz"="native"
"streamci"="native"

dxdiag.exeは、DirectXのテスト・設定用ソフトなので、
DirectXアプリケーションがマウスを確保することを許可する（M）
を有効にするといいかもしれません。
あと、仮想デスクトップをエミュレートする（D）を有効にしてください。
まだ改善しませんか？

#16のように、winetricksで、d3dx9をインストールして、仮想デスクトップを有効にしてるくらいですね。
ワタクシのところでは、NVIDIAなので、事情は異なるかも知れませんが。