状況が読めないのですが、HDDが立ち上がらないと起動すらしません。
MBRからGRUB、kernel,initrdと全てHDDに保存されたファイルが呼び出されてメモリに展開されていきます。

この段階でHDDが立ち上がらない、もしくは反応しない、認識されないと言う類の現象が原因とするのはどうでしょうか？

恐らくこの手の状況を回避するにはカーネルを再構築するか起動時にパラメーターを渡してやるのですが、先生は後者の方法使ったと思います。

状況を読めていないので違うことを書いていましたら申し訳ないです。

すみません、カーネルオプションの説明のサイトは有りますが実際にどの様な振る舞いをするのか全て理解できていません。

少し気になったのですが、今回はPC、OS共に全くの別環境ではないでしょうか？
BusyBoxに落ちるのは色々な原因が有ります。

もし別環境で有るならPCの情報が必要ですし、同じマシンでの話でしたらブートローダの設定ファイルにカーネルオプションが書き込まれているはずです。
GRUBを使用されているのでしたら/boot/grub/menu.lst もしくは/boot/grub/grub.cfg です。
LILOでしたら/etc/lilo.conf です。

Ubuntuの標準のブートローダーはGRUBです。

9.10以降ではGRUB２ですが9.04からのアップデートでは旧GRUBです（違ったかな？）
GRUBでは/boot/grub/menu.lst です。

ファイルの後半の方に
[title]  の行の後に起動時に選択するメニューの文字見つかると思います。
[root]行
[kernel]行
[initrd]行

上記の構成で一つのエントリーです、「kernel」行にはカーネル名、ルートデバイスの指定、起動オプションが書かれています。
デフォルトで「`ro' `quiet' `splash'」がそれに当たります、ここに必要なパラメーターを記述していくことになります。
リカバリーモードも起動オプション`single' で実現しています。

GRUB２では「### BEGIN /etc/grub.d/10_linux ###」から「### END /etc/grub.d/10_linux ###」までにエントリーが書かれています。
表記方法に変更が有り「kernel」は「linux」に変更になっています。

こんなのが出ました
Gave up waiting for root device. Common problems:
  - Boot args (cat /proc/cmdline)
    - Check rootdelay= (did the system wait long enough?)
    - Check root= (did the system wait for the right device?)
  - Missing modules (cat /proc/modules; ls /dev)
ALERT! /dev/disk/by-uuid/a12f42b9-45f7-44db-8b40-496b004f1746 does not exist.
Dropping to a shell!

BusyBox v1,10,2 と続いて
(initramfs) [   34.488094] scsi3 : Adaptec AIC7XXX EISA/ VLB/PCI SCSI HBA DRIVER,Rev 7.0
[   34.488099]          <Adaptec aic7899 Ultra160 SCSI adapter>
[   34.488102]          aic7899: Ultra160 Wide Channel B, SCCI Id=7, 32/253 SCBs
[   34.488105]

と出てきました

- Check rootdelay= (did the system wait long enough?)

と言われているので、rootdelay=10 くらいで試してみてはいかがかと思います。

前に vinelinux をUSBHDDにインストールした時にGRUBからは
カーネルをロードできるのにブートシーケンスの途中で
usb_storage モジュールのロードが間に合わずにルートデバイスを見つけられず
kernel panic になるということがありました。

そのときには有識者が initrd に当てるパッチを提供してくれて解決しました。

エンドユーザー的には rootdelay ですむのならOKですよね

rootdelay=50で無事起動しました。
今回この質問に答えて下さったみなさん、ありがとうございました。

どうやらそうみたいですね。
別に謝らなくてもいいですよ、結果として解決したし、いろいろ勉強になりましたから。