メイン・メニューでの操作は半分手作業（ドラッグ＆ドロップで自動ではない）の様です。

1)重複しているアプリケーションを削除する
2)アプリケーションを現在のフォルダーから移動させる
3)フォルダーの名前を変える

1は削除ボタンで削除できないでしょうか？ もしくは右クリックで「削除」を選択。

2は移動では無く「新規登録＆削除」のパターンかもしれません。
移動したいアプリを右クリックで「プロパティ」。

「コマンド」欄に記載されている文字をメモ。
「名前」欄は 「3」の質問の回答にも成ります。
「コメント」は覚書のメモの様な物なので必須ではありません。
左上隅にアイコンが表示されているのでクリックします。

（「FireFox」で説明すると）ウィンドウが開き「firefox.png」が指定されています。
これが現在ブラウザ(Firefox)に使用されているアイコンです。
詳しい場所はウィンドウ上部に「user」「share」「pixmaps」と表示されている通りです。
ファイルシステムのuserフォルダ→shareフォルダ→pixmapsフォルダの中のファイルfirefox.png

アイコン画像の場所と名前を覚えて閉じます。

新しくアプリを置きたいフォルダを左の選択窓から指定します。
「新しいアイテム」をクリックすると先ほどの「プロパティ」で表示されたウィンドウが開きますので先ほどメモしたものを記入して下さい。
アイコンも指定します。

無事に完了を確認してから元のアプリを削除します。
でどうでしょうか？
多分こんな感じだとは思うのだけど、、、

ありました、、、。
きっとSTGSAGWANさんが仰っている「メニュー・エディタ」の操作の質問だったのですね。
だから「新規」や「削除」が判らなかったんだ。。。

個人的な疑問ですが、何故「メイン・メニュー」の機能制限の簡易版を非表示で取り入れているんだろう？意味が解んない。

shermansweetさんへ
・システム -> 設定 -> メイン・メニューを試してください。
「メニュー・エディタ」と同じインターフェースに「新規」や「削除」等のボタンが付いています。

リンクだけですが、
* http://library.gnome.org/admin/system-admin-guide/stable/menustructure-0.html.ja - CUIの操作法
* https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Desktop/GnomeMenuConfig - メインメニューの操作(本当に簡単なことしか書いてない)
メインメニューでアイテムを消すにはそのアイテムを選択した状態で[削除]を押すと消えます。