http://forlong.blogage.de/entries/pages/Compiz-Check
からcompiz-checkを落として実行してみるとどうなりますでしょうか。
例えば、

Gathering information about your system...

 Distribution:          Ubuntu 10.04
 Desktop environment:   KDE4
 Graphics chip:         ATI Technologies Inc RS880 [Radeon HD 4200]
 Driver in use:         radeon
 Rendering method:      AIGLX

Checking if it's possible to run Compiz on your system...

 Checking for texture_from_pixmap...               [ OK ]
 Checking for non power of two support...          [ OK ]
 Checking for composite extension...               [ OK ]
 Checking for FBConfig...                          [ OK ]
 Checking for hardware/setup problems...           [ OK ]

のような出力が得られるかと思います。
OKになっていないところを手がかりにスクリプトの中で実行されているコマンドが何か(なんのログを見てNGと判断しているのか)などを追いかけていけば原因が突き止められるかと思います。
# 原因が判った後の対処は別途必要になります。

hmatsueさま

追伸です。先ほど書かせていただいた表示結果の後に以下のような文章がついていました。

Would you like to know more? (Y/n) y

The program glxinfo is needed to perform a number of crucial tests.

You need to install the package mesa-utils
Type e.g. sudo apt-get install mesa-utils to install it.

これは何か問題と関係あるのでしょうか？

お手数お掛け致しますが、ご教示いただければ幸いに存じます。

hmatsueさま

早速のお返事、ありがとうございます。
mesa-utils をインストールして再度compiz-checkを実行したところ以下のメッセージが表示されました。

Gathering information about your system...

Distribution:          Ubuntu 10.04
Desktop environment:   GNOME
Graphics chip:         Intel Corporation Mobile 945GME Express Integrated Graphics Controller (rev 03)
Driver in use:         intel
Rendering method:      AIGLX

Checking if it's possible to run Compiz on your system...

Checking for texture_from_pixmap...               [ OK ]
Checking for non power of two support...          [ OK ]
Checking for composite extension...               [ OK ]
Checking for FBConfig...                          [ OK ]
Checking for hardware/setup problems...           [FAIL]

There has been (at least) one error detected with your setup:
Error: Your current resolution is too high to run Compiz.

Would you like to know more? (Y/n) y

Your resolution is 2304x1024 but the maximum 3D texture size that your
graphics card is capable of is 2048x2048. Thus Compiz will not be able to run
on this setup. You have to decrease the resolution first (in case you are
using a dual-head setup, try disabling one monitor and run the script again).

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このメッセージによれば、解像度が高すぎると出てきているのですが、私の今の利用状況は外付けモニターが1280-1024
コンピュータ本体の解像度が1024-576となっています。一度、外付けモニターを外して試してみようと思います。

compiz-checkの出力を信じるなら、外付けモニタの幅を1024に設定するか、
左右にスクリーンを並べるのでは無く、上下に並べるようにすればcompizが動きそうな気がしますが。。
ちょっとやってみないともなんとも言えないです。
実は私、モニタは一台しか使っておらず、具体的な操作方法を存じませんが、標準のモニタ設定で設定できないようであればgrandrなどのパッケージをインストールすれば上下に並べる設定などもできたかと思います。

Sai による投稿:

設定＞モニタにて外付けモニタと本体モニタを縦に並べるように拡張デスクトップを設定したところ、無事にCompizを使えるようになりました。
モニタを縦に並べるのは慣れておらず横に並べられればよかたのですが、当面は問題ございません。
外付けモニタの解像度を１０２４-７６８に落として試してみましたが、うまくいきませんでした。

ご連絡、ありがとうございました。
解像度を落とす方法はダメでしたか。
こういう情報は非常に参考になり、有難いです。:)

表示設定を変えても内部的なVirtualScreen解像度は変わらないのかも知れないですね。
外付けディスプレイの解像度を低くしてでも、どうしても横並びで使いたい、という場合は設定ファイルを手書きで書いて希望どおりの状態が作れるか試すこともできます。
結局ダメで、骨折りになるだけかも知れませんが、もし、興味があればお声掛け下さい。
個人的には、多分、慣れれば上下配置でも問題ないのかな、と思ったり。。