ごめんなさい。携帯からで詳細書けませんが、フォーラム内をMTUで検索してみて下さい。解決しない場合はユーザ名やパスワードは当然ダメですが問題無い範囲で操作や設定内容を投稿してみて下さい(投稿するとまずそうな部分はxxなどで伏せて下さい)。
あとはifconfigなどの結果もあれば状況が見る人に伝わりやすいかと思います。

eoの現況は知りませんが、妹の家に1G無線ルータを設定しに行った経験談です。
1台のPCのみを接続している場合、ルータは必要ないのか基本的に接続されていませんでした。
おそらく、southerngrade の環境も同様のようです。
基本ベーシックルータを無料貸出がされているなら、要請されたらと思います。
ルータがあるほうが機能的によくなるし、設定も逆に簡単です。

#2であまりに不親切過ぎたので補足です。

ネットに接続できない、というのがどういう状態なのか、確認してみて下さい。

$ ifconfig
でIPアドレスなどが割り当てられているかを確認。

$ ping -c 5 66.249.8.126
でインターネットに接続されているか確認。上記の例ではforums.ubuntulinux.jpにpingを5回送信します。

$ ping -c 5 forums.ubuntulinux.jp
上記と同じですが、名前が解決できているか確認します。

$ cat /etc/resolv.conf
で内容が適切か確認します。

これらで問題が見られない場合、PPPoEの設定は問題無さそうに思えます。
次に確認するべきはMTU値です。
http://support.eonet.jp/setup/speed/nettune.html
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=3541
参照下さい。MTUを(恐らくデフォルトの)自動から1454に変更してみて下さい。

どうしても上手くいかないようであれば、funatogawaさんや、koisan1949さんがお勧めのように、PPPoE機能付きのルータを入手して使うのも一案です。

アドバイスありがとうございます。
皆様の提示の内容、やってみました。が、右上のネット接続のアイコンはバツのままです。

以下のような感じのメッセージです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
eth0      Link encap:イーサネット  ハードウェアアドレス xx:xx:xx:xx:xx:xx
          inet6アドレス: xxxx::222:xxxx:xxxx:xxxx/64 範囲:リンク
          UP BROADCAST RUNNING MULTICAST  MTU:1500  メトリック:1
          RXパケット:23 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 フレーム:0
          TXパケット:17 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 キャリア:0
          衝突(Collisions):0 TXキュー長:1000
          RXバイト:1468 (1.4 KB)  TXバイト:2324 (2.3 KB)
          割り込み:30 ベースアドレス:0xa000

lo        Link encap:ローカルループバック 
          inetアドレス:127.x.x.x  マスク:255.x.x.x
          inet6アドレス: ::1/128 範囲:ホスト
          UP LOOPBACK RUNNING  MTU:16436  メトリック:1
          RXパケット:186 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 フレーム:0
          TXパケット:186 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 キャリア:0
          衝突(Collisions):0 TXキュー長:0
          RXバイト:17443 (17.4 KB)  TXバイト:17443 (17.4 KB)

ubuntu@ubuntu:~$ ping -c 5 66.249.8.126
connect: Network is unreachable
ubuntu@ubuntu:~$ ping -c 5 forums.ubuntulinux.jp
ping: unknown host forums.ubuntulinux.jp

ubuntu@ubuntu:~$ cat /etc/resolv.conf
bash: cat/etc/resolv.conf: No such file or directory
ubuntu@ubuntu:~$

ubuntu@ubuntu:~$ sudo pppoeconf
Plugin rp-pppoe.so loaded.
RP-PPPoE plugin version 3.8p compiled against pppd 2.4.5
ubuntu@ubuntu:~$

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

どこの設定を忘れてるんでしょう？
それともやはり、ルータをはさむことを考えた方がいいですかね？

一応、DSL接続からPPPOE接続などに設定して試したのですが。

設定内容が不明ですが、システム -> 設定 -> ネットワーク接続でDSLタブを選択し、ユーザー名(U):とパスワード(P):を入力するだけで接続できます。
ブート時に接続させたければ、自動的に接続する(A):にチェックをします。

現状は/etc/network/interfacesにpppoeconfコマンド実行による不要な記述があると思われますので、下記の内容に変更して下さい。

auto lo
iface lo inet loopback

pppoeconfコマンドにて設定された値は、network-managerが起動していると悪さをするらしいです。
/etc/network/interfaces　の内容をエデッタで下記の様に訂正したらどうでしょうか。。。

auto lo
iface lo inet loopback

iface dsl-provider inet ppp
##  pre-up /sbin/ifconfig eth0 up # line maintained by pppoeconf  masked
provider dsl-provider
auto dsl-provider

iface eth0 inet manual
auto eth0

話の腰を折ってしまって、koisan1949さんには大変申し訳ありませんが、
southerngradeさんはCUIやUbuntuに不慣れとお見受けしましたので、
GUIで操作できるNetworkManagerでの設定を、もう一度、最初から見直していただいた方がよいかと思います。

って、ここの部分の手順は同じなのですが、あとあとの操作も考えて、ということで。。

画面上部のパネルより、アプリケーション、アクセサリ、端末を開いて下さい。
$ gksudo gedit /etc/network/interfaces
と入力し、パスワードを入力して設定ファイルを管理者権限で開いて下さい。
内容を、

auto lo
iface lo inet loopback

に変更して下さい。
つまり、後半部分を消して下さい。
保存して、テキストエディタ(gedit)を閉じます。

念のため、一度再起動して、
画面上部のネットワークマネージャアプレットから接続の編集を開き、DSLのタブでユーザ名やパスワードを入力して下さい。
認証方式はプロバイダから指定されているものだけチェックして残りは外して下さい。
なにを入力してよいか判らないところは質問していただければと思います。

/etc/network/interfaces
の内容はデフォルトに戻しただけで、内容が変わったタイミングはpppoeconfを実行したときのはずです。
結局最初の状態に戻しただけなので、NetworkManagerの設定内容が同じであれば、なにも変わっていないはずなのですが謎ですね。
# 実は一回目、パスワードを打ち間違えていた、とかだったり(?)

ともあれ接続できたようでよかったです。