ご回答誠に有難うございます。
また、サイトを確認するのが大変遅れ、お返事遅れましたこと誠に申し訳ございません。
ご質問につきましては以下の通りでございます。
何卒よろしくお願い申し上げます。

「HDDの載せ替えを試されたとのことですが、全く同じ型式のPCを2台所有していて、Ubuntuをインストールした方をAとして、他方をBとすると、AでUbuntuをインストールした後、Aに入っていたHDD(HDD-A)を、BのPCに接続して同じことを試したということでしょうか。」
→そうです。

「BのPCに入っていたHDDやUSB接続のHDDなど、別のHDDを持ってきてインストールしてみるとどうなるかを見てみる」
→こちら（HDD20GB）にもウルトラベースのDVD-ROMからubuntuをインストールしているのですが、何故かしら途中で電源が落ちます。それによって今のところ未決です。

「別のOS(Windows系、FreeBSDなどBSD系などLinuxでないものの方がよいかも)をインストールしてみて様子をみる」
→元々Windows2000を両方ともインストールしておりましたが、何ら問題はありませんでした。

「BIOS設定を初期化してみる、それでもダメなら内蔵電池を交換して、再度、BIOS設定を初期化してみる
などが考えられるかと思います。」
→BIOSは初期化しました。内臓電池交換につきましてはその方法を調べ切れていないので、未決です。

異常終了したのちに、/var/log/kern.logなどのログファイル類に異常を示すメッセージが残っていないか確認してみるのもよいかと思います。
→恥ずかしながらログの読み方が分からないために確認できませんでした。

PCの型式はx21とのことですが、これだけでは検索しにくいので、他の品名、メーカの管理型式名など、なにか情報があれば投稿願います。
→２台の型式は以下の通りです。
ThinkPad X21 2662-65J
http://www-06.ibm.com/jp/domino04/pc/support/Sylphd13.nsf/jtechinfo/SYP0-021AC5A
ThinkPad X21 2662-KB1
メーカー製品仕様ページなし

ここで言う機材AのCPUクーリングファンのグリースを効果的なものに塗り直して再度アップデートを試したところ、途中電源が落ちることなくインストール出来ました。これが原因であるかは判りませんが様子を見ようと思います。

ご協力ありがとうございました。

Kathokichiさん　はじめまして、Wirebirdsと申します。
私も、Katokichiさんと同型のThinkPad X21をもっており、これに10.4.1LTS版の日本語版をインストールしたのです。
ご存知であればお教えいただきたいのですが、私のX21ですと起動時に一瞬、エラー表示がされ画面全体がちらついて
そのあとにスプラッシュ画面が表示されるのです。

Kathokichiさんのマシンでも（ThinkPadX21）にて共通にて起こる事象なのかもしくは、私の設定（BIOS）誤りなのか
が分からず、以前こちらの皆さんにも、ご教示いただいたオプション（起動）を試したのですが、結論として状況は変わりませんでした。

もし、起動時に何もエラーが出ていらっしゃらないようであれば、すみませんがその設定方法をご教示いただけませんか？
よろしくお願いいたします。

環境としては
ThinkPad X21 2662-64J RAM 256MB HDD 32GB　有線LANにて利用
インストールにはUSB接続のDVDーROMを利用してBIOSのBootをCDーROMを一番としてブート
インストールしたUbuntuは　10.4.1LTS日本語版　です。