アプリケーション、アクセサリ、端末とたどって端末を起動し、

lspci -v | less

と入力してから、「/」を押すと検索モードに入りますので、「Ethernet」を検索して、Ethernet関連の認識情報を調べて投稿してみていただけますか。
例えば、

02:00.0 Ethernet controller: Realtek Semiconductor Co., Ltd. RTL8111/8168B PCI Express Gigabit Ethernet controller (rev 03)
        Subsystem: ASRock Incorporation Device 8168
        Flags: bus master, fast devsel, latency 0, IRQ 25
        I/O ports at e800 [size=256]
        Memory at fdfff000 (64-bit, prefetchable) [size=4K]
        Memory at fdff8000 (64-bit, prefetchable) [size=16K]
        Expansion ROM at febe0000 [disabled] [size=128K]
        Capabilities: <access denied>
        Kernel driver in use: r8169
        Kernel modules: r8169

のような出力が得られるかと思います。

状況確認の結果にもよりますが、標準のドライバでどうにもならない場合は、
http://joefleming.net/2010/05/26/atheros-ar8131-and-linux/
http://ubuntuforums.org/showthread.php?t=1255082
http://partner.atheros.com/Drivers.aspx
あたりを参照して、メーカからドライバのソースコードをダウンロードして導入する必要があるかも知れません。

最近は、NICも安くなっているので、Linuxで簡単に動くものを購入してきて使うのも一案です。

hmatsue様
「lspci -v | less」実行後、検索しましたが、「Ethernet」の文字はありませんでした。「Pattern not found」でした。
教えていただいた３つのリンクからドライバを探してみようと思います。
ただ「ドライバのソースコードをダウンロードして導入する」という経験がまだありませんが…。
またご報告いたします。
どうもありがとうございました。

hmatsue様
教えていただいた３つのリンクのうち最初のリンク…

　http://joefleming.net/2010/05/26/atheros-ar8131-and-linux/

を見ました。そこには…

　Grab the driver from the Atheros site

とあったので、「the Atheros site」に移動。そこは…

　http://partner.atheros.com/Drivers.aspx

ということで、ここは教えていただいた３つめのリンクですね。そこで…

　「AR81Family Linux Driver」という見出しの場所にあった下記ファイルを、当方のWindowsPCにDLしました。
　AR81Family-Linux-v1.0.1.9.tar.gz

さてここからが…わからないのですが、ご教授いただけませんでしょうか？
まだ投稿の書き方もよくわかってないので、わかりづらいと思いますが、だんだん直していきます。御免なさい。

hmatsue様
早朝から返信をありがとうございます。

(1)lspci -nn
22行表示。隣のUbuntuPCでの実行結果を見て、WindowsPCでタイピングしていますので、全部はタイピングしません…。
デバイス名と思われる部分だけタイピングします。

Host bridge
PCI bridge
SATA controller
USB controller (×6行)
SMBus
IDE interface
Audio device
ISA bridge
PCI bridge
USB controller
HOST bridge (×5行)
VGA compatible controller
Audio device

Ethernetまたはnetwork関連のデバイスは見られないようです。

(2)sudo modprobe atl1e
空行が返ってくるだけです。

(3)dmesg
一画面以上のメッセージが出力されました。
スクロールして最後の部分に「atl1e(エイ・ティー・エル・いち・イー)」がないか、目でチェック。（文字検索コマンドを現段階では知りませんので…）
確認できませんでした。

(4)ifconfig
これは比較的短いので全部タイピングします。

lo Link encap:ローカルループバック
inetアドレス:127.0.0.1 マスク:255.0.0.0
inet6アドレス: ::1/128 範囲:ホスト
UP LOOP BACK RUNNING MTU:16436 メトリック:1
RXパケット:140 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 フレーム:0
TXパケット:140 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 キャリア:0
衝突(Collisions):0 TXキュー長:0
RXバイト:10928(10.9KB) TXバイト:10928(10.9KB)

どうもありがとうございました。
これから「Ubuntu ネットワークドライバの追加」等のキーワードで検索して調べてみようかと思います。
失礼します。

hmatsue様の「念のためですが、BIOSなどでM/BのNICが無効化されていないか確認してみて下さい」基づき…
MSIのロゴ画面でdelキーを押してsetup画面へ。
Integrated Peripherals画面を選択。
Onboard LAN Controller は Enabled　でした。しかし…
LAN Option ROM が Disabled　だったので　Enabled　に変更しました。（意味はわかってませんが…）
saveして起動しましたが、やはり…
デスクトップ上のネットワークアイコンをクリックすると、"ネットワーク接続がありません"というメッセージが表示されます。
最初は"利用可能なネットワークデバイスがありません"というメッセージだったので、やや変化しました。
まあ、つながらないことには変わりはないのですが。

念のため、再起動してBIOSを確認。LAN Option ROM は　Enabled　でした。saveして起動しましたが…
デスクトップ上のネットワークアイコンをクリックすると、やはり"ネットワーク接続がありません"というメッセージが表示されます。
いやあ、まいりました。NICのLEDが光ってくれない。初心者にはハードルが高すぎるケースのようです。
マザーボードの選択を間違いましたかね。やはり古くてUbuntuの稼動実績のあるものを選ぶべきでしたか。

hmatsue様の「NICも安くなっているので、Linuxで簡単に動くものを購入してきて使うのも一案」が一番よいような気がしてきました。
数千円（多分）の投資ですむのなら…って気持ちです。よかったら実績のある商品を教えてください。
拡張スロットは次の通りです。
・PCI Express 2.0 x16×1
・PCI Express x1×2
・32bit PCI×1

ふと今気づいたのですが、ネットワークアイコンは、扇形の波のようなデザインのものですよね。これにビックリマーク（エクスクラメーション）が付いている状態です。
まあ、今更ながらの蛇足ですが。さて、どうしたものか…。
いずれにしましても、お返事どうもありがとうございました。感謝いたします！

hmatsue様

(1)lspci -v | less

「Ethernet」を検索しましたが、ありません。「Pattern not found」でした。(前回と同じ)

(2)sudo modprobe atl1e

空行が返ってくるだけです。(前回と同じ)

(3)dmesg
一画面以上のメッセージが出力されました。
スクロールして最後の部分に「atl1e(エイ・ティー・エル・いち・イー)」がないか、目でチェック。（文字検索コマンドを現段階では知りませんので…）
確認できませんでした。(前回と同じ)

(4)ifconfig
lo Link encap:ローカルループバック
inetアドレス:127.0.0.1 マスク:255.0.0.0
inet6アドレス: ::1/128 範囲:ホスト
UP LOOP BACK RUNNING MTU:16436 メトリック:1
RXパケット:140 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 フレーム:0
TXパケット:140 エラー:0 損失:0 オーバラン:0 キャリア:0
衝突(Collisions):0 TXキュー長:0
RXバイト:10928(10.9KB) TXバイト:10928(10.9KB)　　(前回と同じ)

(5)cat /etc/network/interfaces
auto eth0
auto lo
iface lo inet loopback

以上です。1行目の「auto eth0」は、hito様の助言で私が今朝付け加えたものです。

やはり、「NICも安くなっているので、Linuxで簡単に動くものを購入してきて使うのも一案」ですかね。
次の製品なんて、どうなんでしょう？
SysKonnect SK-9E21D PCI-E Gigabit Ethernet 販売価格:   2,480円  (税込) 
（http://lanshop.ocnk.net/product/36）
本当に何度もすみません。どうもありがとうございます。

hito様
お返事をありがとうございます。
前に教えていただいた下記を実行して、「iface eth0 inet dhcp」を追加しました。

gksu gedit /etc/network/interfaces

そして保存しましたので、cat /etc/network/interfaces　は次のような内容になったわけです。

auto eth0
auto lo
iface lo inet loopback
iface eth0 inet dhcp

そして再起動しましたが…やはりつながりません。
メッセージが、最初の"利用可能なネットワークデバイスがありません"というメッセージに戻りました。
どう考えたらよいのか、今の自分にはわかりません。ぼちぼち長期計画で勉強させていただきたいと思います。
助言をどうもありがとうございます！

gontomo様
「ちょっと気になったのですが、NICが電気的に動作していて、かつ、ルーターやハブと接続されている状態であれば、OSがNICを認識しようがしまいがNICのランプは光るはずです。
つまり、NICが無効になっているかハードウェア的なトラブルのような気がしますが・・・
Windowsでの動作って試してみましたか？」

おっしゃる通りなんです。
それで実は今日Windowsをインストールするために下記のHDDをネットショップ（amazon）注文したところなんです。

WesternDigital WD6401AALS-R CaviaBlack 3.5inch 7200rpm 640GB 32MB SATA/3.0Gbs

もしこれでNICのLEDが光らなければ、マザーボードの故障ということで、マザーボード（MSI社の785GM-P45）を購入したネットショップ（amazon）に返品して、代わりにUbuntuの動作実績を持つマザーボードを注文しなおそうと考えています。

実はマザーボード（MSI社の785GM-P45）は一度交換してもらっているのです。HDDをsataが認識しなかったので。それでHDDの異常か、マザーボードの異常か、はっきりしなかったので、とりあえず４GBのUSBにUbuntuをインストールした、という経緯があるのです。もっと言えば、HDDも一度交換してもらいました。というわけで、最初の注文してから一ケ月以上になります。（苦笑）

とにかく粘ってUbuntuデビューしたいな、と思っております。
お返事どうもありがとうございます！