「２台目のパソコン」のグラフィックチップはi815Eという認識でよいでしょうか。
であるなら、参照リンクを参考にxorg.confを作成して「DRI」を無効にしてみてください。これでパネルの件は改善されると思います。動画なども連なって改善されることを期待したいです。
（リンク先にあるリンク「10.04　にしたら　低解像度へ」がi815でパネルが改善された時のものです）

参照： https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic … 899#p61899

お世話になります。
1台目のパソコンですが、あれから頻繁にフリーズと、compiz（コンポジット？）が不正終了することが多くなり、memtest86を行ったところ数件のエラーが検出されました。
メモリに不具合があるとこのような症状が起こることがあるのでしょうか。

2台目のパソコンの方は、DRIを無効にしても残念ながら改善されませんでした。
ただ、タスクバーは10回中数回の確率で表示されるようになりました。
また、マザーボードですがチップセットはグラフィック機能の無い815EPでした。

２台目のパソコンの方は、部分的にUbuntu 9.10の設定を引き継いだ影響を感じさせるものがありますし、不具合もちょっと多いので、再インストールをしても構わないということであれば、Ubuntu 10.04で再インストールしてみてください。（LiveCDの起動メニューにある「ディスクの破損をチェックする」でCDの整合性をチェックしてからインストールしてください）
再インストールしても問題が解決しない、もしくは再インストールはちょっと、という場合は「端末」を起動させて「lspci」を実行し、その結果を投稿してみてください。それと、再インストールをしない場合はゲストユーザーでログインした時の動作結果も提示してみてください。

（他のパソコンがない場合は１台目の方を解決してからの方が良いのかもしれません）