mtr717様

まずは、

このようにアイコンが部分的に表示されない現象が、数日前に起動しなくなった直後に発生しました。Win7とデュアル環境でしたので、そのときはWin7を使用していましたが、突如Ubuntuが起動を再開しました。（何もしていないのに、です。）

とのことですが、これは具体的に言うと、
・ubuntuは、HDDあるいはSSDでext4ファイルシステム等で構成される専用パーティションへインストールしている。
・MBRにはGrub2を格納し、Win7はGrub2からchainloadしている。
・Win7使用中に突然シャットダウンし、BIOS→Grubを経て勝手にubuntuが起動してしまった。
・その後のUbuntuのGnomeでは、アイコンが部分的に表示されない現象が起こるようになった。
ということでしょうか。

もしWubiをお使いならその旨をお書き頂けないと理解しにくい経緯のようにも思えますが、いかがでしょうか。

本題ですが（上記事象のほうが根本的な解決策が必要に思われますが、今回は割愛しますが）、

ソフトウェアセンターの、分類画面に表示される「フォント」のアイコンが表示されなくなりました。

という現象ですが、ログインしたセッション上でのGUIアプリケーションに関わるlogは主に$HOME/.xsession-errorsへ格納されます。
ソフトウェア・センタを起動して、その後端末（terminal）にて下記コマンド：

cat $HOME/.xsession-errors

を実行し、出力結果をご投稿下さい。
その際には（Forumへ結果を貼り付ける際には）、当該貼り付け内容に対しCODEタグを利用してください。
内容の前後を［ｃｏｄｅ］［／ｃｏｄｅ］でくくって下さい（タグを可視化するためわざと全角表記にしておりますが、タグ自体は半角でお願いします）。