お返事ありがとうございます。返信遅れました。すみません。

/dev/sdc は内蔵HDDで固定ですので、場所は変更されていません。

fdiskを実行したところ、
ubuntu@ubuntu:~$ sudo fdisk -l /dev/sdc5

ディスク /dev/sdc5: 683.5 GB, 683481759744 バイト
ヘッド 255, セクタ 63, シリンダ 83095
Units = シリンダ数 of 16065 * 512 = 8225280 バイト
セクタサイズ (論理 / 物理): 512 バイト / 512 バイト
I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes
ディスク識別子: 0x00000000

ディスク /dev/sdc5 は正常なパーティションテーブルを含んでいません

と、出力されます。

UUIDも一致していました。

急激な電源遮断でファイルシステムがおかしくなっただけでは無い様ですね。
パーティションテーブルを含んでいないと表示されていますが使用したコマンドが違っているために全体が把握できません。
$ sudo fdisk -l  です。デバイスファイル名は不要です。

状況が変わったのでオプション　-l に加えてu も付け加えて -lu として見て下さい。
含まれていないパーティションテーブルがMBRを指すのかPBRを指すのか確認が必用になった場合に役立ちます。

今後の展開としては＃４に書かれている様に、ハード特有の問題に遭遇する危険が有る為に情報を出していただいた方が良いかと思います。

/dev/sdc5 のUbuntuが使い込んだ環境でないならばHDDのチェックを行い再フォーマット＆再インストール。
復旧を試みるなら「fdisk -lu」でディスク構成とシステムからの認識を確認する。
/dev/sdc5 がマウント出来れば必要なファイルを救出する。
必要ならツール「testdisk」を実行してパーティション情報の回復を図り起動を試す。
「fsck -y /dev/sdc5」を実行する。　fsck は急激な電源遮断などで生じたファイルシステムの矛盾を整合させます。
システムは考慮せず、壊れた部分を切り離しファイルシステムを修復するので障害が大きいほどシステムが起動不可能に陥る可能性が有ります。　fsck は数度繰り返し実行する必用が有る場合も有ります。

sudo fdisk -lu　の結果です。



ubuntu@ubuntu:~$ sudo fdisk -lu



ディスク /dev/sda: 320.1 GB, 320072933376 バイト

ヘッド 255, セクタ 63, シリンダ 38913, 合計 625142448 セクタ

Units = セクタ数 of 1 * 512 = 512 バイト

セクタサイズ (論理 / 物理): 512 バイト / 512 バイト

I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes

ディスク識別子: 0x428d428c



デバイス ブート      始点        終点     ブロック   Id  システム

/dev/sda1   *          63   113113664    56556801    7  HPFS/NTFS

/dev/sda2       113115136   625139711   256012288    7  HPFS/NTFS



ディスク /dev/sdc: 1500.3 GB, 1500301910016 バイト

ヘッド 255, セクタ 63, シリンダ 182401, 合計 2930277168 セクタ

Units = セクタ数 of 1 * 512 = 512 バイト

セクタサイズ (論理 / 物理): 512 バイト / 512 バイト

I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes

ディスク識別子: 0x90ac89a4



デバイス ブート      始点        終点     ブロック   Id  システム

/dev/sdc1            2048  1583272431   791635192    7  HPFS/NTFS

/dev/sdc2      1583273982  2930276351   673501185    5  拡張領域

/dev/sdc5      1583273984  2918199295   667462656   83  Linux

/dev/sdc6      2918201344  2930276351     6037504   82  Linux スワップ / Solaris



ディスク /dev/sdb: 250.1 GB, 250059350016 バイト

ヘッド 255, セクタ 63, シリンダ 30401, 合計 488397168 セクタ

Units = セクタ数 of 1 * 512 = 512 バイト

セクタサイズ (論理 / 物理): 512 バイト / 512 バイト

I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes

ディスク識別子: 0x3f8dc789



デバイス ブート      始点        終点     ブロック   Id  システム

/dev/sdb1              63   488392064   244196001    7  HPFS/NTFS



ディスク /dev/sdh: 8011 MB, 8011120640 バイト

ヘッド 41, セクタ 41, シリンダ 9307, 合計 15646720 セクタ

Units = セクタ数 of 1 * 512 = 512 バイト

セクタサイズ (論理 / 物理): 512 バイト / 512 バイト

I/O size (minimum/optimal): 512 bytes / 512 bytes

ディスク識別子: 0xc3072e18

最近はライブCDから起動してインターネットを使っています。

mountしようとすると、

ubuntu@ubuntu:~$ sudo mount /dev/sdc5 /mnt && sudo nautilus /mnt
mount: 間違ったファイルシステムタイプ、不正なオプション、
       /dev/sdc5 のスーパーブロックが不正、コードページまたは
       ヘルパープログラムの未指定、或いは他のエラー
       In some cases useful info is found in syslog - try
       dmesg | tail  or so

となり、閲覧もできませんでした。

$ sudo apt-get update した後に、testdiskをinstallしようとすると、
ubuntu@ubuntu:~$ sudo apt-get install testdisk
E: ロック /var/lib/dpkg/lock が取得できませんでした - open (11: Resource temporarily unavailable)
E: Unable to lock the administration directory (/var/lib/dpkg/), is another process using it?

となり、インストールできません。
何故でしょうか？

すみません、返信遅れました。

再びですが、testdiskをインストールしようとすると、
ubuntu@ubuntu:~$ sudo apt-get install testdisk
パッケージリストを読み込んでいます... 完了
依存関係ツリーを作成しています               
状態情報を読み取っています... 完了
E: パッケージ testdisk が見つかりません

となります。
sudo apt-get update をした後なのですが、何故でしょうか？

そのように再設定をして、更新をすると、ディスクの空きが足りない旨のエラーが出てしまい、その時にどこかのファイルに書き込み途中で終了された様でターミナル使用時にエラーが吐かれたので、
ターミナルからではなく、直接サイトからに出向き、パッケージからインストールしました。