> /etc/exports
> /home/hogehoge xxx.yyy.0.0/255.255.255.0(rw,sync,no_root_squash)
> #  mount xxx.yy.70.84:/home/hogehoge /mnt/hogehoge
転記ミスで無いとするとネットワークアドレスかマスクのどちらかが違うと思います (/24 か /16 かという意味で)

まず
> 確認のためにお尋ねします。
> /etc/exportsの中の以下の文です。
> /home/hogehoge xxx.yyy.0.0/255.255.255.0(rw,sync,no_root_squash)

> これはxxx.yyy.0.0 ～　255.255.255.0 の範囲のマシンからのftpを受付け、書き込み自由とする。ということでしょうか。
ここで許可している範囲は xxx.yyy.0.0～xxx.yyy.0.255
ftp ではなくて NFS です

> xxx.yyy.70.80のマシンからの依頼はOKですか。
上記の通りなら範囲外です（これが Permission Denied ということ)

> ちなみにxxx.yyyというのが職場全体のIPアドレスです。
以降 職場のネットワークは xxx.yyy.0.0/16 (xxx.yyy.0.0～xxx.yyy.255.255) と仮定します
xxx.yyy.70.80 を許可するには /etc/exports の xxx.yyy.0.0/255.255.255.0 を
1. その IP アドレスだけを許可するなら xxx.yyy.70.80/32 にする (許可する数 1)
2. 許可する範囲を職場全体まで広げるなら xxx.yyy.0.0/16 にする (許可する数 255×255)
のどちらかでどうでしょう

> (/24 か /16 かという意味で)　←この部分の意味がわからなかったのですが。どういうことでしょうか。
この記述で話が通じるか確認させていただきました
職場のネットワークを管理されている方にも相談されることをお勧めします

# 参考 https://help.ubuntu.com/community/NFSv4Howto

> 長らくやらなかったので忘備録を探し回ったのですが、出てきませんでした
> 大まかな方向性だけでもよろしくお願いします。
・・・

# /etc/fstab
～～追加～～
xxx.yyy.70.84:/hogehoge  /mnt/hogehoge  nfs4  _netdev,auto  0 0

クライアントは Redhat ということなのでこちらのページが詳しいです
RHEL4 リファレンスガイド： NFSクライアント設定

当方では，ノートPCが NFS クライアントマシンであり，
NFSサーバの立っていないネットワークに繋ぐことがあるので，
オンデマンドで NFS マウントする autofs を導入しています．

NFS + autofs でファイル共有を初めて約5年，
/etc/fstab は使ったことはなかったので，興味があって実験しました．

Fedora を入れたノートPCで，/etc/fstab に

nfsserver:/home            /mnt                    nfs     auto,_netdev    0 0

と記述してNFSサーバの立っていないネットワークに繋いで起動したら，

Mounting NFS filesystems:  mount.nfs: Connection timed out
    [FAILED]

と，タイムアウトになるまで起動シークエンスが3分間止まりました．
RHEL ではどの程度止まるのかは実験出来ません．
/etc/fstab に書くマウントオプション(noauto,_nodev の部分)を
うまく指定する(timeo=オプションかな？)ことで，
タイムアウトになるまでの時間は調節できるはずです．

老婆心ながら，NFSサーバに常時接続できる環境でも，ネットワークに障害が起きたり，
NFSサーバがメンテナンスで止まっていたり，/etc/fstab の記述を間違えたりすると，
クライアントマシンの起動に数分間待たされる可能性があることには留意しておいたほうが良いでしょう．

hoso1093 さん による投稿:

１．sudo apt-get install autofs　←みたいな感じでしょうか。

Fedora では yum を使うので，RHEL も yum ではないでしょうか？

２．/etc/autofs.masterの編集
それから先は自動なのでしょうか。

少なくとも当方ではそうでした．
hoso1093 さんのクライアントは Ubuntu ではなく，RHEL だそうですので，具体的な設定はオフトピックになりますが，
NFSクライアント(Ubuntu 及び Fedora)側の /etc/autofs.master の

/net -hosts

の行の先頭に # がついていたら取り除き，クライアントマシンの再起動か autofs の再起動で，
「/net から始まる UNIX 標準のパス」を，autofs が「NFSサーバと export したパスの組」へと翻訳してくれるのです．
クライアントマシンでの
/net/サーバ名/export したディレクトリのパス
が NFS サーバがエクスポートしたディレクトリとみなされます．

NFSは、サーバAのフォルダBを自分マシンのフォルダcとみなす、ということなので、A,B,Cという3つの情報を指定する必要があると思います。

サーバA : サーバ名=foo または IP=192.168.0.1
(export した)フォルダB：/etc/exports に記述したディレクトリ /bar としたとき，
クライアント側でのフォルダ c は /net/foo/bar または /net/192.168.0.1/bar になります．

当方では NFS サーバは所謂ディストリビューションを使わず，
カーネル，ライブラリ，ユーティリティの殆どを
自前でコンパイル&インストールしたマシン(玄箱)で立てています．
Ubuntu/Fedora は ssh サーバを起動した以外は専らクライアントとしか使っていませんので，

○サーバ側のNFSのサービスが自動で起動するにはどうしたらいいのでしょうか。

は，他の詳しい方に委ねます．