横から失礼、
メモリと電源を気にしているようですが、グラボもHDDもbiosも忘れないように。
特に
＞ firefoxを起動するときなど、かなりの頻度でウブンツがハングアップします
グラボの熱暴走も疑って下さい。
＞ 日本語Remixからのインストールができなくなりました
デスクトップ版等では、古いPCやBiosが、最新Linuxのセキュリティモデル等の機能に対応できないためにインストールが中断する場合があります。
＞ HDD
信頼性に疑問の有る製品が、稀に、出回ることがありますので、HDD型番などでネット検索し、確認する事をおすすめします。

seijunです。途中経過報告。

会社にあるDDR2-800の2GBを2枚自宅に持って帰って、問題のパソコンの1GBの2枚と差し替えました。あまり、意味のないことかも知れませんが、速度をすべてDDR2-800に揃えるためです。それで、最初にCDからインストールした表Ubuntuを動かしてみましたが、取りあえずは安定してきたかと思っていましたら、やはり、firefoxがクラッシュし、キー入力をはじめ全て受け付けなくなりました。SysReqキーを押しても駄目な感じです。

それで、サーバー版からインストールしたバックアップ用の裏Ubuntuを起動させて使っていますが、今のところ５時間ほど動かしているものの、まだ、クラッシュは起きていません。ただ、synapticが動かなかったり（このサイトに対策方法が書いてあり、その設定をすると動くようになりました）、固定IPの設定ができない（これは、/etc/network/interfacesをinet staticにして、直接書き換えると設定できました）などで虎ぶりました。サーバー版をデスクトップ化すると、いろいろ面倒なことがあるようです。

なお、lm-sensorsを導入して、グラフィック・ボード（GEForce 8460S）とＣＰＵの温度はパネルに常に表示させています。パネルに表示させるには、Hardware Sensor Monitorという名前のアプレットをインストールする必要がありました。