実際に「bash-completion」を削除して、PCを再起動してみました。
たしかに、tabを使った補完機能はなくなりますが、『cd ~/』は『ｃｄ /home/hogehoge/』に展開されました。
Docが”/”以下にあれば、単に『ｃｄ /Doc』と入力すれば良いことなのではないでしょうか？

~/.bashrcあたりの最後の方に、

_expand()
{
  return 0;
}

__expand_tilde_by_ref()
{
  return 0;
}

とか追記すれば、~の展開は抑制できそうです。
/etc/bash_completion
とかの内容も見てみて下さい。

hmatsueさんに示していただいた解決策で無事解決しました。ありがとうございました。
それにしても関数を上書き（と言うのかよく分かりませんが。）してしまうなんて凄い方法ですね。勉強になります。

ところで/etc/bash_completionの_expand()関数の中にはこんな文章がありました。

    # Expand ~username type directory specifications.  We want to expand
    # ~foo/... to /home/foo/... to avoid problems when $cur starting with
    # a tilde is fed to commands and ending up quoted instead of expanded.

なぜ展開するのか、その理由が示されているらしいですが、あまり意味は分かりません。
展開しないと何か問題が起こる場合があることは分かりました。

vine_userさんが指摘されていた行は、当方のbash_completionにおいても
コメントアウトされておりました。FIXMEの行もちゃんとありました。

展開しないとどんな問題があるか気になりますが、とりあえず今のところはいい感じです。
みなさんありがとうございました。

Bug #622403に関係していそうですね。この報告のコメントを見ると、/etc/bash_completionを下記のように書き換えればいいみたいですけど、僕の環境では変更前の状態でもチルダで表示されます（謎

変更前

_expand()
{
    # FIXME: Why was this here?
    #[ "$cur" != "${cur%\\}" ] && cur="$cur\\"

    # Expand ~username type directory specifications. We want to expand
    # ~foo/... to /home/foo/... to avoid problems when $cur starting with
    # a tilde is fed to commands and ending up quoted instead of expanded.

    if [[ "$cur" == \~*/* ]]; then
        eval cur=$cur
    elif [[ "$cur" == \~* ]]; then
        cur=${cur#\~}
        COMPREPLY=( $( compgen -P '~' -u "$cur" ) )
        [ ${#COMPREPLY[@]} -eq 1 ] && eval COMPREPLY[0]=${COMPREPLY[0]}
        return ${#COMPREPLY[@]}
    fi
}

変更後

_expand()
{
    # FIXME: Why was this here?
    #[ "$cur" != "${cur%\\}" ] && cur="$cur\\"

    # Expand ~username type directory specifications. We want to expand
    # ~foo/... to /home/foo/... to avoid problems when $cur starting with
    # a tilde is fed to commands and ending up quoted instead of expanded.

    if [[ "$cur" == \~*/* ]]; then
        if [ $(bind -v|grep 'set expand-tilde on'> /dev/null) ]; then
            eval cur=$cur
        else
            return 0;
        fi
    elif [[ "$cur" == \~* ]]; then
        cur=${cur#\~}
        COMPREPLY=( $( compgen -P '~' -u "$cur" ) )
        [ ${#COMPREPLY[@]} -eq 1 ] && eval COMPREPLY[0]=${COMPREPLY[0]}
        return ${#COMPREPLY[@]}
    fi
}

ちなみに、次のコマンドでexpandが有効になっているかどうか確かめられるようです。

$ bind -v | grep tilde
set expand-tilde off ←expandが無効の場合
set expand-tilde on ←expandが有効の場合

vine_userさんに示していただいたBug #622403によると、第一の解決方法だと解決しない人がいるみたいです。自分もその一人です。

自分の環境では
$ bind -v | grep tilde
set expand-tilde off
となりました。

先程のバグ情報の会話によれば、_expand()はset expand-tilde onのときに呼び出される関数で、
__expand_tilde_by_ref()がset expand-tilde offのときに呼び出されるのではないかと思います。

ということで自分なりに/etc/bash_completionを編集し、__expand_tilde_by_ref()を以下のようにしてみました。

__expand_tilde_by_ref() {
    # Does $1 start with tilde (~)?
    #if [ "${!1:0:1}" = "~" ]; then
    if [ "${!1:0:1}" = "~" ] && _rl_enabled expand-tilde; then
        ...
    fi
} # __expand_tilde_by_ref()

if文が二つありますが、下のほうが自分のものです。上がオリジナル。

これは先のバグ情報の会話でVictor Zamanianさんが示していた修正方法を若干変えたものです。
この変更により、（~/.bashrcで関数を上書きする方法をとらなくても）チルダが展開されなくなりました。
ちなみに_expand()はオリジナルのままです。

Bug #622403のコメント欄を最後までよく見ていませんでした。すみません。

uchan_nosさんのおっしゃるとおり、expand-tilde offの際に呼び出されるのは、__expand_tilde_by_ref()の方のようですね。

今回もいろいろ調べる過程で勉強になりました。正直、個人的にはチルダでもフルパスでもどっちでもいいんですけど、こういう細かいことからしくみがわかってくるのは面白いです。

ちなみに、
.inputrcに「set expand-tilde [on|off]を追記」
ではなく、
.bashrcに「bind 'set expand-tilde [on|off]'を追記」
ですね。実際にやってみたら、expandのon/offを制御できました。

あ、端末を再起動していませんでした。

.inputrcでもOKですね。すみません。