自分の環境では特に凝った設定はしていませんが、どちらも同じ情報が表示されました。

ブラウザのアドレスバーに表示されている情報は両方とも等しいですか？
言語設定が日本語でも、www.google.comとwww.google.co.jpでは表示される商品や通貨は異なります。

下は適切な方法かどうか分かりませんが、一応。
google.co.jpに対応する検索プラグインを作ってしまえば対処できます。

方法：
1. google.comで検索するプラグインは、「/usr/lib/firefox-addons/searchplugins/en-US/google.xml」にあるのですが、これをコピーしてgooglejp.xmlなどと名前をつけます。(en-US内で問題ないと思います。ja-JPフォルダを作ってみましたがうまく行きませんでした。何か別の設定があるのかもしれません)
2. このファイルを開くと、それらしい記述があると思うので、www.google.comの箇所をwww.google.co.jpに書き換えてください。
(注: application/x-suggestions+jsonの部分は予測入力機能だと思いますので、そのままにしておいてください。)
また、もとのGoogle検索と区別がつくように「Description」や「ShortName」を適宜変更してください。

Firefoxを再起動すると、検索バーに新しい項目が追加されてるはずです。検索バーの管理画面で一番上に持ってくるとデフォルトの検索エンジンになります。

Add to Search Bar がとても便利で愛用しています。
https://addons.mozilla.org/en-US/firefox/addon/add-to-search-bar/

google.co.jp の検索ボックス内で右クリックして Add to Search Bar... を選択すると
Favicon を取得してくれて、後はサーチエンジン名を確認する程度で
~/.mozilla/firefox/*.default/searchplugins 内に適切な xml を生成してくれます。

蛇足ですが、Ubuntu日本語フォーラム右上の検索ボックスも
サーチエンジンとして登録出来ました。