ご教示ありがとうございます。
おかげさまでとりあえずが起動でき、アップグレード自体は成功していることが分かりました。
ただ、最後のステップで

＞起動後、端末から
＞$ sudo update-grub
＞
＞を実行する。

を実行すると端末の方では done と表示されるのですが再起動したときに反映されておらず元のままになっています。

もともと入っていたのは8.04LTSなので10.04LTSを起動させるまでの手順がhir0さんが書いてくださったものと若干異なっています。
＞変更が終わったら［Enter］Keyを押すとメニュー選択画面に戻りますので[b]Key を押して起動します。
このステップで［Enter］Keyを押してもメニュー選択画面に戻らないのでそのまま[b]Key を押して起動しました。
このステップに何か問題があるのでしょうか。

ご教示お願いします。

ご教示ありがとうございます。
ようやくまともに起動するようになりました。

なおご提案にしたがいGRUB2を入れようとしたところ $ sudo mv -R /boot/grub /boot/grub-0.9x-old の R がおかしいというメッセージが出ました。
キーボード配置から察するにこれはTのミスタイプでしょうか？

状況によっては（GRUB2やGRUBの再インストールを行った後）/boot/grub をリネイムすると起動しなくなります。
リネイム（もしくは削除）した後でGRUB2のインストールやGRUBの再インストールを行はなければいけません。
/boot のgrubフォルダはリネイムしなくても各設定ファイルが混在するだけで実害はありません。

＃８の理解で良いです。
コマンドについての説明（今回の件、GRUBに関した手解きドキュメント）は恐らく無いでしょう。
国内外に溢れる同様の内容、又はコマンドに付いて同等の内容の文書から「良質の」とは言いませんが理解できる物を探してもらう（情報を提供してもらう）しかないと思います。
説明が下手（文書力が、、、）なのは、申し訳ないです。

私に出来ることは踏み込んだ説明を残す事だけと思います。
旧バージョンのGRUBの更新は、今読み返すと少し疑問が残ります。
$ sudo apt-get upgrade

で大丈夫ではないか？と言う部分と、
$ sudo apt-get install grub

する前に
$ sudo apt-get remove grub

を実行しなくては？　その辺りはシステムが自動で最新にしてくれるのかな？　と、普段使っているだけに「やれば分かる」的な所が有ります（すみませんね）


さて、GRUB２の部分ですが

Ubuntu（の当確バージョン）が適用できるパッケージ（ソフトウェア）の情報を更新します。
$ sudo apt-get update


現在システムに有るフォルダをリネイムします。削除でよいのですが万が一問題が起こった場合に元に戻せるためです。
この作業は必須では有りませんが新旧の２つのGRUBは同じディレクトリの同名のフォルダを使用しますので後々に混乱（勘違い）を避けるためです。

$ sudo mv -R /boot/grub /boot/grub-0.9x-old
「-R」が不要でした。


GRUB２をインストールします、GRUB2とGRUB-PCはセットですので、これでGRUB2とそれに伴うパッケージが有れば同時にインストールされます。
GRUB２をインストールする事で「GRUB」は削除されます。
この時に/boot 内にディレクトリgrub が存在しなければ新たに生成されます。
$ sudo apt-get install grub-pc


先のGRUB2インストールはシステム（OS）内に配置しただけです。
実際にはブートローダGRUB2を何かのデバイス（ハードディスクやUSBメモリ等）にインストールしなければいけません。
通常はMBRと呼ばれる部分ですが用途によってはPBRにもインストールします。今回は内臓HDDのMBRについて書いています。
$ sudo grub-install /dev/sda


GRUB関連のツールがシステムを走査して自動で設定を書き込み（更新）します。
結構自動で実効されますが、どのタイミングなのか把握していないので最後に手動で実行しておくのが吉。
次回から間違いなく更新された設定が反映されます。
$ sudo update-grub



パッケージリストの更新
　　　　　↓
grubフォルダの名前を変更して退避する。
　　　　　↓
GRUB－PCをインストールする。
　　　　　↓
依存関係でGRUB2も同時にインストールされる。
　　　　　↓
既存のGRUBは案アンインストールされる。
　　　　　↓
必須フォルダ「/boot/grub」が存在しない場合は新規に作成される。
　　　　　↓
内臓HDDの先頭（MBR）にGRUB2をインストールする。
　　　　　↓
完了！　の前に保険的に設定の更新を実行。

おかげさまでGRUB２のインストールも無事終了しました。
今回は本当にお世話になりました。
ありがとうございました。