loto6tanuki による投稿:

症状
電源を入れてBIOSが立ち上がり、HDDランプが点滅し画面がチラッと変わる
そぶりがあり、その後HDDへのアクセスが少なくなりそのまま停止？している
ようです。
Enterを押下するとHDDへアクセスがちょこっとあるものの、なんら変わりません。

起動するときはUBUNTUのロゴの下のドットが赤⇔白に遷移してから
鮮やかなデスクトップ画面となり起動します。

何度か試すと起動するときもあるようですので、何度かctrl+alt+delなどで再起動を繰り返し、Ubuntuを起動させてみて下さい。
起動させられたら、どの時点で、どのような問題が起きているのか確認するために、まずは、端末を開き下記の操作を行って下さい。

gksudo gedit /etc/default/grub

エディタが開いたら下記を追記。もし同じ項目があれば既存の項目の先頭に#を付けて無効化(コメントアウト)しておいて下さい。

GRUB_TIMEOUT=3
GRUB_CMDLINE_LINUX_DEFAULT="nosplash"

保存してエディタを閉じて、端末に戻り、

gksudo update-grub

準備が完了したらシステムを再起動してみて下さい。

この変更により、PC起動時にカーネルローダ(grub)のメニュー画面が表示されるようになります。grubが毎回表示されるようであればgrub以降のカーネル起動などの問題の可能性が高いです。
grubが毎回は表示されないようであれば、HDDの問題やBIOSの問題の可能性が高いです。
また、grubからの起動時にスプラッシュスクリーンが表示されないように設定変更されているので、カーネル起動時に何か異常があれば画面にその旨が表示されると期待しています。

loto6tanuki による投稿:

電源管理の設定を間違っているのでしょうか？
UBUNTUの停止方法は電源マークをクリックして「シャットダウン」を選択することで
よろしいのでしょうか。

シャットダウンの方法は上記の手順で問題ありません。

loto6tanuki による投稿:

メモリチェック？（カウントアップもしくはダウンのような動き）まで進んだ場合は
起動して、メモリチェック？まで進まずひかかったような状態の時には起動に
失敗しているようです。

このあたりの画面表示や、画面表示の時間遷移など、もう少し詳しく説明願えませんでしょうか。
なにかのカウントダウン?とのことなので、カーネルの起動までは処理が移っていない状態なのではないかと思います。
もし、grubのデフォルト項目での起動までのカウントダウン(現在の設定では3,2,1,0と順に数が減っていき、その間に操作がなければタイムアップしてデフォルトのOSが起動する、という動作になります)のことであれば、grubまで処理が移れば、その後は正常に動作する、ということになろうかと思います。この場合は、BIOSのHDDの自動認識の処理や、HDDのスピンアップの動作に異常が発生していることが可能性として考えられます。
それより前の時点の、BIOSによるメモリチェック(搭載されているメモリの量を確認するものです。例えば512MBのメモリが搭載されていれば、524288KBぐらいまで増えていく、といった感じの挙動になります)の部分で固まるようであれば、メモリの故障などが疑わしいです。

loto6tanuki による投稿:

表示されるように・・・とは文字として読めないのです。
滲んでいるといいましょうか、一文字がブロックの■になってしまっているのです。

ここの部分はちょっとよく判りません。。
なにが起きているのだろう。。

loto6tanuki による投稿:

起動に失敗するか否かが掴めるようになっただけは、ちょっぴり進んだようです。
ディスクチェックを掛けてみようかと思います。
また、よろしくお願いします。

メモリチェックや、BIOS設定が適切かの確認をされてみることをお勧めします。
あと、最近のHDDは静かだったり、他の部品のファンがうるさかったりするのでちょっと厳しいかも知れませんが、起動時のHDDの回転音が聞こえるようであれば、スピンアップに異常がなさそうか確認してみて下さい。

解像度が低くて、内容までは読み取れませんでしたが、さっきまで想像していたのとは違い、カーネル起動途中でのトラブルのように見えますね。
起動完了せずに止まった場合の画面写真(文字が読み取れるぐらいの解像度)、もしくは、文字が読めるようであればそれを書き写したものを投稿していただくことは可能でしょうか。
普通、この状態で文字化けは発生しないはずだと思いますが、これらがすでに文字化け(?)した状態のものだったりしますでしょうか。

私も以前に同じような症状の時があり、ボタン電池の交換でシステムが安定しました。
メモリやマザーボードに異常があるかもしれませんが？？