F10がCompiz にトラップされているのが原因と思います。
CompizConfig 設定マネージャをインストールし、その中の「デスクトップ」の項目から、「Ubuntu Unity Plugin」を
選択してください。

その中の「Key to open the first panel menu」 が　[F10] に割り当てられていると思います。
これを、「無効」にして下さい。

この方法で私は対策しています。

huuさんへ

解決してよかったです！

実は私はもっと別な問題があり、Anthyの利用をやめてしまっています。
Anthyでタイプ中に、突然「変換キー（Space)」が効かなくなり、その時の文字は入力されない。。。という変な現象でした。

たとえば、横山　とタイプしようとすると「よこやま」「Space」　と押しますが、「Space」を押した時に日本語入力モードが解除されて
しまい、その後何度やっても「横山」がはいらないのです。でもその時に「よこ」「ｓｐaｃe」「やま」「ｓｐaｃe」と一文字づつ入れると入ったりも
します。どうも変な現象なのでした。
最初は特定の漢字の組み合わせが原因かとも思ったのですが、どうもそうではなく、長文をタイプしているときに何度も現象が出るため
イヤになり、Anthyをやめました。

Ubuntuソフトウェアセンターから　Mozc をいれ、今は快調に日本語入力できています。
以前はATOKを使っていたのですが、毎度のUbuntuアップグレードでの再インストールが面倒でやめました。
Mozcはキー設定でATOKのキー設定もできるので違和感がありません。

Mozcお勧めです。

横からいいでしょうか？
私も huuさんと同じくF１０キーでの変換ができずに困っていました。
anchor12rgsさんの教えに従ってCompizConfig 設定マネージャを使いF１０キーで望み通りの変換ができるようになり、助かりました。ありがとうございます。

また「Ubuntuソフトウェアセンター」で「Mozc」で検索すると、7件がヒットしますが、そのうちどれをインストールすればMozcが入れられるのでしょうか。

このあとは余談です：
「 CompizConfig 設定マネージャ」というのは「Ubuntuソフトウェアセンター」のページで、compizconfigで検索して出てくる2件のうち、多分「デスクトップ効果の詳細設定(ccsm)」の方なのですね？（結果的にそれをインストールしたらうまくいきましたので）。
またインストールされた「デスクトップ効果の詳細設定(ccsm)」を立ち上げたいと思いましたが、どこに入っているのか探すのにウロウロしました。「アプリケーション」、「すべてのアプリケーション」、「テーマ・設定」の中に、「デスクトップ効果の詳細設定(ccsm)」としてではなく、「 CompizConfig 設定マネージャ」という名前で表示されているのですね。

funatogawaさん、
ありがとうございます。
3点をインストールしました。
ところが3点がどこへいったのか探し出せません。
どうしたらMozcを起動出来るのでしょうか？

Manazuさん、ありがとうございます。snaka(aka ｓなか）です。
教えていただいた方法でMozcを追加できました。
追加しておけば、あとは例のアイコンをクリックして、AnthyかMozcのどちらか好きな方に、編集中にいつでも、切り替えられるのですね。この短文もAnthyとMozcをわざと切り替えながら書いています（笑）
トピ主のhuuさん、それにanchor12rgsさん、funatogawaさん、Manazuさん、みなさんのおかげで慣れた手順で快適に作業ができるようになりました。ありがとうございました。