タイミングの問題で起動が失敗するといった類のバグを踏んでしまっているような気がしますが、
ハードウェアの型式など使用環境の詳細と、
具体的なエラーメッセージなどの症状の詳細、
が無いとはっきりしたことは調べようもありません。

もし、既知のバグであれば、ワークアラウンドが見つかるかも知れません。

PCがメーカ製のものであれば、メーカ名と型式を、
組立機であれば、M/Bの型式を投稿下さい。

エラーメッセージについても、もう少し詳しい情報が欲しいところですが。。

グラフィックカードについては二つ記載があるのは、ひとつがオンボード、もうひとつが別体のグラフィックカードでしょうか。
BIOSの設定上、優先なのはAMD Radeon HD 6470Mという理解でよろしいでしょうか。

Sony　Vaio Sシリーズ　VPCSB19FJ/Bだと思いますが、
Wubiでインストールしたのであれば、パフォーマンス・スイッチでGPUを切り替えてみてください。
⇒STAMINAモードからSPEEDモードへ切り替えてみたところ起動は前より安定しました。
しかし5回に1回くらい以下のように表示され起動できません。これの対処法を教えていただけると助かります。
[ 20.452690]   [<c1003165>] do_one_initcall+0×35/0×170
[ 20.453551]   [<f8e41000>] ? radeon_init+0×0/0×1000 [radeon]
[ 20.454341]   [<c10922db>] sys_init_module+0×db/0×230
[ 20.455099]   [<c100ab5f>] sysenter_do_call+0×12/0×28
[ 20.455879] Code:f0 0f85 94 08 00 00 8b 83 c0 07 00 00 85 c0 0f 8e 6d
8b 93 c0 07 00 00 23 83 d0 07 00 00 83 ab bc
[ 20.4577078] EIP: [<f8df66e9>]evergreen_cp_start+0×49/0xae0 [radeon] SS
[ 20.458566]  CR2: 00000000fad81ffc
[ 20. 459401] ---[ end trace 2604eab91ada9444 ]---
[ 21.697130] i2400m_usb 1-1.2:1.0: firmware interface version 9.3.2
[ 21.706901] usbcore: registered new interface driver i2400m_usb
[ 21.707006] ADDRCONF(NETDEV_UP): wmx0: link is not ready
[ 21.766426] ppdev. user-space parallel port driver
[ 21.775818] type=1400 audit(1305543054.634:5):apparmor="STATUS"operat
[ 21.777484] type=1400 audit(1305543054.634:6):apparmor="STATUS"operat
[ 22.029273] ADDRCONF(NETDEV UP):wlan0: link is not readu
[ 22.039718] r8169 0000:05:00.0: eth0: link down
[ 22.040595] r8169 0000:05:00.0: eth0: link down
[ 22.041580] ADDRCONF(NETDEV_UP): eth0:link is not ready
[ 23.594863] r8169 0000:05:00.0: eth0 link up
[ 23.595899] ADDRCONF(NETDEV_CHANGE): eth0: link becomes ready
[ 33.956611] eth0: no IPv6 routers present

電源遮断、もしくは、ハードウェア的な再起動を繰り返したために、ファイルシステムが壊れてしまったのかも知れません。
内部に必要なデータあれば、
https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Install/WubiGuide#head-e80f8715d061dd97d94a7d13559eea340e9b2afa
を参照して引き揚げてください。
Ubuntu自体は再インストールした方が早そうです。

問題は、r8169のカーネルモジュールあたりにありそうな気がします。
まだ、十分な調査(既知のバグ検索)はできていませんが、r8168/r8111系のチップの場合はRealtek配布のドライバを使ってみるのもよいかと思います。

まずは、データの引き上げを済ませましょう。上記Wikiで判らない箇所などあれば、ご質問下さい。

なにか残っていたとしても、再インストール時に消されるか、上書きされるはずですので、そのまま再インストールしてしまって下さい。
再インストールしたら、起動して、端末を立ち上げ、

lspci -nn | grep Ether

を実行して結果を投稿してみて下さい。
R8168/R8111系なら、
https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Others/DkmsHowTo
に沿ってReaktekのドライバを入れてみましょう。

sudo apt-get update
sudo apt-get upgrade
sudo apt-get install build-essential dkms

して必要なツール類をインストールし、
http://www.realtek.com.tw/downloads/downloadsView.aspx?Langid=4&PNid=13&PFid=5&Level=5&Conn=4&DownTypeID=3&GetDown=false
からドライバのソースをダウンロードして下さい。

ばっちり8168チップのようなので、やってみちゃって下さい。
上記の下準備を済まし、
ダウンロードしたファイル、r8168-8.023.00.tar.bz2をホーム直下に移動して下さい。

cd
tar xvf r8168-8.023.00.tar.bz2
cd /usr/src
sudo cp -R ~/r8168-8.023.00 /usr/src/
sudo touch /usr/src/r8168-8.023.00/dkms.conf

して、

gksudo gedit /usr/src/r8168-8.023.00/dkms.conf

で設定ファイルを管理者権限で開き、

PACKAGE_NAME="r8168"
PACKAGE_VERSION="8.023.00"
CLEAN="make clean"
BUILT_MODULE_LOCATION[0]="src/"
BUILT_MODULE_NAME[0]="r8168"
MAKE[0]="cd ${dkms_tree}/r8168/8.023.00/build; make KVER=${kernelver} modules"
DEST_MODULE_LOCATION[0]="/updates/dkms"
AUTOINSTALL="yes"

と書いて保存します。

sudo dkms add -m r8168 -v 8.023.00
sudo dkms build -m r8168 -v 8.023.00
sudo dkms install -m r8168 -v 8.023.00

とします。

gksudo gedit /etc/modprobe.d/blacklist-r8169.conf

として内容を、

blacklist r8169

とします。
再起動して、

lspci -vs 5:0.0

として新しいドライバが使用されているか確認してみて下さい。

ホーム直下は自分で理解できました。すいません・・・
そして、最後のコード実行結果は、
05:00.0 Ethernet controller: Realtek Semiconductor Co., Ltd. RTL8111/8168B PCI Express Gigabit Ethernet controller (rev 06)
    Subsystem: Sony Corporation Device 907b
    Flags: bus master, fast devsel, latency 0, IRQ 41
    I/O ports at 3000 [size=256]
    Memory at c3404000 (64-bit, prefetchable) [size=4K]
    Memory at c3400000 (64-bit, prefetchable) [size=16K]
    Capabilities: <access denied>
    Kernel driver in use: r8169
    Kernel modules: r8168, r8169
こうなりました。
ちゃんと変更されてますか？

05:00.0 Ethernet controller: Realtek Semiconductor Co., Ltd. RTL8111/8168B PCI Express Gigabit Ethernet controller (rev 06)
    Subsystem: Sony Corporation Device 907b
    Flags: bus master, fast devsel, latency 0, IRQ 47
    I/O ports at 3000 [size=256]
    Memory at c3404000 (64-bit, prefetchable) [size=4K]
    Memory at c3400000 (64-bit, prefetchable) [size=16K]
    Capabilities: <access denied>
    Kernel driver in use: r8168
    Kernel modules: r8168, r8169
と表示されました。若干変わってますが、これで大丈夫でしょうか？

起動は安定して、快適にUbuntuを使えています。
しかし、壊れたUbuntuをアンインストールしたとき３０GBがそのまま無くなっています。
これにより、400GBあったHDD容量が３７０GBになり、新しくUbuntuインストールした分で３４０GBにまで減っています。
つまり、昔のデータは上書きされずに何処かへ残っているのでしょうか？

Ubuntuはwubiでインストールしています。

Windowsの(C:\ubuntu)内はこんな感じです。
disksフォルダ
installフォルダ
winbootフォルダ
Ubuntu.ico
Uninstall-wubi.exe
--------------------------------------------------------------------
disksフォルダ内は、
boots/grub/なし
root.disk
swap.disk
--------------------------------------------------------------------
installフォルダ内は
.fuse hidden 0000000400000001
--------------------------------------------------------------------
winbootフォルダ内は
wubildr
wubildr.cfg
wubildr.mbr
wubildr.tar
wubildr-bootstrap.cfg
--------------------------------------------------------------------
sudo parted -1の実行結果は、

モデル: ATA Hitachi HTS54505 (scsi)
ディスク /dev/sda: 500GB
セクタサイズ (論理/物理): 512B/512B
パーティションテーブル: msdos

番号  開始    終了    サイズ  タイプ   ファイルシステム  フラグ
1    1049kB  12.2GB  12.2GB  primary  ntfs              diag
2    12.2GB  12.3GB  105MB   primary  ntfs              boot
3    12.3GB  500GB   488GB   primary  ntfs

C:\ubuntuフォルダのサイズは、29.9GBでした。
ゴミ箱は空になっていました。
df -h実行結果は、
Filesystem            Size  Used Avail Use% マウント位置
/dev/loop0             29G  3.9G   24G  15% /
none                  1.2G  724K  1.2G   1% /dev
none                  1.2G  196K  1.2G   1% /dev/shm
none                  1.2G  220K  1.2G   1% /var/run
none                  1.2G     0  1.2G   0% /var/lock
/dev/sda3             455G  139G  317G  31% /host
-----------------------------------------------------------------------------
Ubuntuの仮想HDDを予定していたより大きく割り当てたということはないですよね?
→それは、ありません。30GBが上限でしたから・・・

最近30GBもの容量を使うようなことはUbuntuのインストール以外ではありませんでした。
原因がわかったら教えていただきたいです。

HDDの容量は戻りませんでした。
30GB無くなった原因もよくわかりません。
しかし、今まで丁寧なアドバイスを下さり本当にありがとうございました。
hmatsueさんのおかげでUbuntuを快適に使えるようになりましたし、３０GB程度の損失ならそこまで気にすることでもありません。