>gdmがシステム起動時に起きてこない、という現象でしょうか。
あるいはgdmは起動しているがXの起動に失敗している、という現象でしょうか。
正常に起動しなかった場合の、
syslog, Xorg.0.log, daemon.log, gdmのログ
あたりを見ればなにか判ることがあるかもです。

ログを見よう見ようと思いながらいつも寝落ちしているので今度見てみます。

> あと関係するのか不明ですがブートローダGRUBからBURGに変えました
が気になりますが、kernel optionsの設定や、initramfsの指定は正常にされていますでしょうか。

burgの場合update-grubにあたる操作をupdate-burgでやるのですが、
initramとかはこのコマンドに任せてます。で結論としては”コマンドがNGだとは言ってません”

たびたびすいません　
上の記述は間違ってました。
本当は
hmatsueさんの指摘通り
起動時ｇｄｍが立ち上がらないことがある。という不具合でした。
テキストログインの状態で
sudo /etc/init.d/gdm restart
をおこなうと正しくグラフィックログインできました。

というわけで起動時ｇｄｍが起動しないことがあるという件に対して（たぶんタイミング的な話）
なにか指摘したいことがある人がいらっしゃるようであれば教えてくださればありがたいです。

結論がでたので書いておきます。

解決方法は　/etc/default/burg　に
GRUB_CMDLINE_LINUX_DEFAULT="quiet splash"　
の行があるので
GRUB_CMDLINE_LINUX_DEFAULT="quiet splash video=uvesafb"
となおすこと

でした。

そもそも　/etc/default/grubに
GRUB_CMDLINE_LINUX_DEFAULT="quiet splash video=uvesafb"
とあるのがburgに引き写されてませんでした。

なおなんでこの記述があるのか？というと
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?pid=44077
の記述をよんだからです。

ていうところでアウトします。