RTL8PIE/RTL8102E
とありますが、
RTL8101E/RTL8102E
の誤記でしょうか。

以下、RTL8101E/RTL8102Eが正しかったという前提で書きます。

https://bugs.launchpad.net/ubuntu/+source/linux/+bug/534536
に報告されているところによると、10.04ではそのデバイス用のドライバを持っていないようです。
Reaktekからドライバのソースコードをダウンロードしてきてインストールすることもできそうですが、始めてのLinuxでプログラミングの知識も無いとなるとちょっとハードルが高いかも知れません。

自分の環境(11.04 amd64)で確認したところ、
r8169ドライバが、
0x000010ec 0x00008136
のデバイスに対応していそうな雰囲気でした。

まずは、11.04をインストールしなおしてみるというのはいかがでしょうか。

手動でパーティション設定をすれば上書きインストールもできたはずだと思いますが、手動でパーティションを設定するにもある程度の慣れ、経験が必要になりますので、LiveCD(インストールCD)からシステムを起動(インストールでは無く「試してみる」方です)してパーティションエディタを使用し、Ubuntuインストールパーティションを一度削除し、11.04をインストールしなおすのがよいでしょう。
その際、間違えてWindows7のパーティションを消したりしないよう、くれぐれも注意して操作して下さい。
もし迷うようであれば、Windows7の領域にある必要なデータをバックアップしたり、作業を中断してこの場で相談したりして下さい。