早く解決したいなぁ　と思う場合は、意訳ではなく、実際に表示されたメッセージをそのまま記載することをお勧めします。また、パソコンの構成や環境なども、事前に記載しておくと、やりとりをする回数が減ります。
　質問者が考えている以上に、大変重要です。
(元のままの記載であれば、多少転記を間違えても、読み手側で補間できることが多いです。また、同じ意味のメッセージでも、その文面(文言)から、タイミングなどの付随する情報が判断場合もあります。が、意訳されてしまうと、そこで行き止まりです。）

　インストール形式は、通常の(HDDへの)インストールでしょうか？USB startup Diskの形式でしょうか？
　前者の場合で、Swapも確保していて物理メモリが少ない場合、USBスティックの寿命が心配です（寿命の場合、中のデータは、おそらくどーにもなりません。そういうケースを取り扱う業者もありますが、個人で頼む(頼める)ような値段ではないと思いますし。）。個人的な経験では、寿命で壊れる前になくしてしまうため、本当に寿命で壊れるのかは不明です・・・。

LiveCDからUbuntuを立ち上げ、USBスティックをマウントしようとしても「Already Operation is Suspended」と出てマウントできません。

の、具体的な操作はどのように行ったのでしょうか？端末からmountコマンドで明示的にマウントしようとしたとか、自動的にマウントされるのを待ってみたとか。
Alreadyとついているので、すでにmountの処理中(が、うまくmountできず処理中のまま？)のところに、さらにmountを指示したようにも読めます。

私なら、(手っ取り早く試せる方法として)Ubuntu以外のLiveCDを試してみるか、MS-Windows用のextファイルシステムのドライバを試してみるかと思います。あと、念のため、USBの元の側の故障ではないことを確認するために、違うポートや違うパソコンでも試してみるのが良いかと思います。壊れいないかどうかの切り分けができると良いのですが、確認する方法があるのかわかりませんでした。

こんにちは。

OSセレクト画面のあとは写真にとっているのでアップしたいのですが、ここではどうすればいいのかわかりません。とても全部は書き切れない量です。

の、先に書かれていた、エラーメッセージと判断した、、エラーっぽい内容のメッセージ１文を記載することはできませんか？たいていの場合、表示されているメッセージの最後かその付近ということになると思います。それがわかるだけでも、だいぶ状況が推測できます。推測ですが、パーティションのGUIDやLABELが変わり起動するもしくはルートのパーティションが見つからずに起動に失敗しているのでは・・・と考えています。
（ファイルの添付が可能であれば、携帯で撮影してアップロードが結構簡単で確実なんですよね・・・・ただ、最近の携帯は画像に位置情報まで付随していたりするので知らずにアップロードしてしまうと怖い面もあります。）

インストール形式については、
１．LiveCDから起動し、GUIな環境に入る前の画面でインストールするを選んだ場合は、通常の(HDDへの)インストールと同じ方法ということになります。また、「コンピュータを変更せずに ubuntu を 使ってみる」や「インストールせ ずに使ってみる」や「Ubuntuを試す」からGUIの環境(Live環境)を起動し、そこから、デスクトップにあるインストールアイコンからインストールした場合も同様です。
２．LiveCDから、Live環境を起動し、スタートアップディスクの作成の等の機能を使用すると、LiveUSBと呼ばれる形式になります。
です。記載いただいた、fdisk -lの結果から、前者(通常のインストール)と思われます。

まず、LiveCDでUbuntu10.04を立ち上げ、場所＞該当のメモリースティックをダブルクリック（又は、左クリック+マウントする）の操作で、「Already Operation is Suspended」が出て「マウントできません」となります。

Ubuntuが起動しているときに、USBスティックを刺すとデスクトップ環境が自動的にマウントを試みていたように記憶しています。刺したまま、操作をせずにしばらく待つと中を参照できるようになりませんか？念のため、/etc/fstabの内容に、/dev/sdc1に関する間違えたエントリが存在しないかどうか、確認してみてください(自身ではよくわからない場合は、そのまま記載していただければと思います）

ついで、$sudo mount /dev/sdc3 /mntといれると、「killed」と出るか、何も出ないままとなります。

端末で実行するコマンドの場合、何かを表示するためのコマンドを別にすると、処理に成功すると何も表示しないコマンドがあります。確か、mountも問題なく成功した場合には、何も表示しなかったと思います。
念のため、事前に/mntに何もmountしていないことを確認の上で、mount /dev/sdc /mntを実行し、何もメッセージが表示されなかった場合、mountに成功しているのかもしれません。mountの状態を確認し、/mntの中を(lsコマンド等で)参照してみてください。
（mountの状態の確認は、端末で「mount」と実行すると、現在mountされているものが一覧表示されます）