PCデータもなし、インストール対象メディア、Ubuntuのバージョン等が分からない状況では考えようもありません。
まずは、CDが破損していないかチェックしてみましょう。

kanazuki1992 による投稿:

●CPU PentlumⅢ 500MHz
●メモリ　240MB(RAM)
●HDD 10GB

https://help.ubuntu.com/community/Installation/SystemRequirements
によると、最小環境で、
Pentium4以降の1GHz以上のCPUと、512MiBのメモリとのことなので、Spec不足と思われます。
LiveCDでのインストールではなく、CUIのAlternateインストーラ
からなら、インストール自体はできるかも知れませんが、実用的な速度では動作しないような気がします。
alternateインストーラからベースシステムのみインストールし、その後、taskselコマンドを使ってLubuntuデスクトップ環境を導入すれば、遅いなりになんとか動くシステムは作れるかも知れません。

CPUがPenIIIの1GHzなら、インストールさえできれば、そこそこには使えるかもですね。
問題はメモリが少なすぎることで、その状態ではGUIでのインストールは困難かと思います。
別のPCにHDDを移植して、Ubuntuをインストールしてから、元のPCに戻すか、
先ほどご紹介したalternateインストーラ(CUIなので多少ハードルは上がります)でインストールするか、
メモリを増設するかとなります。

少し前は、LiveCDが起動する状態だったのですよね?

AlternateInstallerCDが起動しない原因としては、
1. BIOSの設定ミス(CDからブートするように設定されていない)
2. InstallerCDの作成ミス(焼きミス、セッションが閉じられていないなど)
3. ドライブとメディアの相性、もしくは、仕様上読める種類のメディアでない
などが考えられますが、状態が変化していなければ1は無いはずです。
ただし、M/Bの電池がヘタっていて、BIOS設定が飛ぶ可能性も無くは無いので念の為確認してみて下さい。
メイン(?)のPCというのは別のPCがあるようですね。
そちらで起動できるのであれば、2は無いでしょう。
あとは3ですが、古いPCだとCD-RWが読めないなどということもあるかも知れません。
また、仕様上読めるはずであっても、ドライブが故障しかけているような状態だと読み出しに失敗することがあるかも知れません。
VAIO PCVの細かい型式を元に、ウェブで仕様を探すか、本体のマニュアルがあれば仕様欄などに、CDドライブの仕様が書かれていないか確認してみて下さい。

とりあえず、インストールはできたようでよかったです。
メモリがかなり少ない環境であるため、Xubuntuでもメモリが不足気味になるかも知れません。
わずかですが、Lubuntuならもう少しだけアプリケーションに回せるメモリが増えるかと思いますので、メモリが不足するようであれば、lubuntu-desktopを導入してログイン時にLubuntu Desktopセッションでログインして改善するか試してみて下さい。

# どちらにしてもメモリの絶対量が不足気味な感はありますので、複数のアプリケーションを同時に起動するような使い方は厳しいかと思います。

ともあれ、せっかくインストールしたのですから、いろいろ試して楽しんで下さい。 :-)