MySQLサーバ、クライアント等の文字コード環境を明記してください。

show variables like 'character_set%';
を実行しますと、

+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | latin1                     |
| character_set_connection | latin1                     |
| character_set_database   | latin1                     |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | latin1                     |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)

と表示されます。

文字コードを変えるのは、文字化けなどの重大な事態がある時にすることと理解しています。この場合は、単に漢字一つの検索に、漢字が２つ表示されるだけで、他は問題なく動いています。検索は漢字ひとつだけですることはまれなため、ほとんどの検索は現在の状態で問題なくできます。この程度のことで/etc/mysql/my.cnf を書き換えたりすると、予期しない重大なことが起こる懸念があり、躊躇されます。
/etc/mysql/my.cnf　を書き換えずに、文字コードを書き換える方法をインターネットで探してみました。
create databaase xxxdb default character set utf8;　で　文字コードを指定してデータベースを作ることができる。(http://ext.omo3.com/linux/mysql_character_set.html)
create databaase Kokoromi default character set utf8;
で試してみると、
ERROR 1064 (42000): You have an error in your SQL syntax; check the manual that corresponds to your MySQL server version for the right syntax to use near 'databaase Kokoromi default character set utf8' at line 1
と表示され、できません。
set names utf8;　で　既存のデータベースの文字コードを変更することができる。(http://ref.layer8.sh/ja/entry/show/id/15)
create database Kokoromi; で
show variables like 'character_set%';　を入力すると、
+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | latin1                     |
| character_set_connection | latin1                     |
| character_set_database   | latin1                     |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | latin1                     |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)
と表示されます。
set names utf8;　を実行して、
show variables like 'character_set%';　を入力すると、
+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | utf8                       |
| character_set_connection | utf8                       |
| character_set_database   | latin1                     |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | utf8                       |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)
と表示されます。確かに文字コードが変わっています。
DROP TABLE Shiken;

CREATE TABLE Shiken(
kanji VARCHAR(20),
id INT NOT NULL AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY);

INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蚊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("隊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("渦");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("並");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("靴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蝴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("人");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("溺");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("騎");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("討");

を実行し、テーブルをつくり、データを入れます。
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="蚊";　とすると
ERROR 1267 (HY000): Illegal mix of collations (latin1_swedish_ci,IMPLICIT) and (utf8_general_ci,COERCIBLE) for operation '='
と表示され、まったく検索ができません。

今の所よい結果はまったく得られていません。

MySQL を使っている皆さんの環境では、どうなのかお聞きしたいです。
CREATE TABLE Shiken(
kanji VARCHAR(20),
id INT NOT NULL AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY);

INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蚊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("隊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("渦");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("並");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("靴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蝴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("人");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("溺");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("騎");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("討");

SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="蚊";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="渦";

でちゃんと、蚊、渦　だけを選択するでしょうか。

weykさん、納得のいく説明ありがとうございました。
私は前回 create databaase Kokoromi default character set utf8; でエラーになると書きましたが、単にdatabaase の綴り間違いでした。create database Kokoromi default character set utf8;　と入力すると、エラーになりません。
これで、データベースをつくり、
use Kokoromi;
show variables like 'character_set%';　を入力すると
+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | latin1                     |
| character_set_connection | latin1                     |
| character_set_database   | utf8                       |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | latin1                     |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)
と表示され、character_set_database は　utf8 になっています。
次に
set names utf8;　    を入力してから、
show variables like 'character_set%';　を入力すると、
+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | utf8                       |
| character_set_connection | utf8                       |
| character_set_database   | utf8                       |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | utf8                       |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)
と表示され、character_set_client も utf8 になっています。
ここで、
CREATE TABLE Shiken(
kanji VARCHAR(20),
id INT NOT NULL AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY);

INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蚊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("隊");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("渦");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("並");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("靴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("蝴");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("人");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("溺");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("騎");
INSERT INTO Shiken(kanji) VALUES("討");
を入力して、Shikenテーブルをつくり、データを入力します。
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="蚊";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="隊";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="渦";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="並";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="靴";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="蝴";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="人";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="溺";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="騎";
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="討";
を入力すると、確かに一字だけ選択されます。

show create table Shiken \G と入力すると、
*************************** 1. row ***************************
       Table: Shiken
Create Table: CREATE TABLE `Shiken` (
  `kanji` varchar(20) DEFAULT NULL,
  `id` int(11) NOT NULL AUTO_INCREMENT,
  PRIMARY KEY (`id`)
) ENGINE=MyISAM AUTO_INCREMENT=11 DEFAULT CHARSET=utf8
1 row in set (0.00 sec)

ERROR:
No query specified

と表示され、テーブルの文字コードも utf8 になっています。

一度端末を閉じて、もう一度SQLコマンド画面にして、
use Kokoromi;
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="騎";　　としても、

Empty set (0.02 sec)
と表示されます。
set names utf8;　を入力してから、
SELECT * FROM Shiken WHERE kanji="騎";　　を入力すると、始めて、
+-------+----+
| kanji | id |
+-------+----+
| 騎   |  9 |
+-------+----+
1 row in set (0.00 sec)

と表示されます。
utf8のデータベース、テーブルをつくると、データベースに問い合わせる時はいつも、set names utf8;　を書くことが必要なようです。
これをなくすには、/etc/mysql/my.cnf　を開き、[client]　と　[mysqld]　の所に
[client]
default-character-set=utf8

[mysqld]
default-character-set = utf8
skip-character-set-client-handshake
character-set-server = utf8
collation-server = utf8_general_ci
init-connect = SET NAMES utf8

と書き込むことが必要なのでしょうか。(http://ext.omo3.com/linux/mysql_character_set.html)
ただ書き換えてしまうと、latin1 でつくったデータベース、テーブルは動かなくなると思われますが、どうなのでしょうか。

create database Kokoromi default character set utf8;
use Kokoromi;
set names utf8;
show variables like 'character_set%';
では、
+--------------------------+----------------------------+
| Variable_name            | Value                      |
+--------------------------+----------------------------+
| character_set_client     | utf8                       |
| character_set_connection | utf8                       |
| character_set_database   | utf8                       |
| character_set_filesystem | binary                     |
| character_set_results    | utf8                       |
| character_set_server     | latin1                     |
| character_set_system     | utf8                       |
| character_sets_dir       | /usr/share/mysql/charsets/ |
+--------------------------+----------------------------+
8 rows in set (0.00 sec)
と表示され、character_set_server　にlatin1 が残ります。character_set_serverはlain1でよいものでしょうか。

サーバのキャラクターセットを変えたい場合

my.cnf の mysqld セクションの default-character-set で指定するのが普通です
my.cnf で指定したくないときには make し直す必要があります ＜どんな状況でその必要性が生じるのかは皆目見当もつかないが
mysqld を起動する際の引数で指定するのは、評価のために一時的に設定を変えたいときだと思います
評価が終われば、その結果を受けて my.cnf を正しく設定します (人によっては起動スクリプトに引数を記述することがあるかもしれない)

character_set_server　にlatin1 が残ります。character_set_serverはlain1でよいものでしょうか

データベースを作成 (create database) するときに、毎回明示的に文字コードを指定するか、作成したデータベースに格納する文字が英数字 (laten1) だけというのならそれでもいいでしょう