最近、Operaを使わなくなり、専らfirefoxを使っているので気付いていませんでしたが、Ubuntu 11.10ではJavaがOpenJDK一択になったため、OperaでJavaを使うのが少々面倒になっているようですね。
http://ubuntuforums.org/showthread.php?p=11463327

で、OracleのJavaを導入する方法が紹介されていました。
すなわち、端末で、

sudo add-apt-repository ppa:ferramroberto/java
sudo apt-get install sun-java6-jre sun-java6-plugin

を実行してOperaを再起動してみるとJavaが動くようになりますでしょうか。
http://www.java.com/ja/
にアクセスして、「Javaの有無のチェック」を開いてみて下さい。

Operaのプラグイン設定を確認し、Javaもしくはicedtea(OpenJDKのプラグイン)が有効になっているか確認してみて下さい。もし、両方有効になっているようであれば、icedteaを無効化設定してみて下さい。

Qyw894 による投稿:

しかし、Minecraft Classic以外は普通にできるようなので、もしかしたらMinecraft ClassicとUbuntuの相性が悪いのかもしれません。

Minecraftというゲームを提供しているサイトに、Ubuntu上のOperaからアクセスした際の状況はどのようなものでしょうか。Javaプラグインはロードされているが、正常に動作しないようであれば、Ubuntu用のJavaか、Minecraftに問題があるのかも知れませんね。

自分のKubuntu環境にもOperaのアップデートが来まして、つい先ほど11.60(amd64)になりました。
先日までIcedteaが動作していなかったようなのですが、Opera 11.60ではIcedteaが動作するようです。
この状態でJavaサイトのバージョンチェックで、Version 6 Update 23と表示されるようですので、Qyw894さんの環境でもicedteaが動作しているのではないかと想像しますが、プラグインの確認はされましたでしょうか。