文面からだけでは判断しきれない部分がありますが、Thunderbird の受信トレイが一杯になっていると言うことはないでしょうか？
定期的にフォルダの最適化をされていますか？

あと、気がついたことは、「受信トレイの新着メッセージを確認しています」のタイムアウトがありません。処理を続けています。よろしく。

有難うございます。私も、プロバイダーの問題と考え、家族のメールアドレスを受信設定に加えて試しました。なぜか受信OKです。設定を比べましたが、同じです。状況が把握できません。一度受信トレイを削除して、再度ダウンロードするのも良いのですが、他に考えられる事はありますでしょうか？現在、出張中にて、ネットスピードに問題があり、過去のすべてをダウンロードするには、時間がかかります。他に原因（ソフトのバグ？）が考えられなければ、帰宅後にやり直して見ます。プロバイダーは、ホットメールでサーバーの設定は、POPでポート９９５（既定値）です。

お休みのところ、非常に感謝しています。いろいろご指導有難うございます。実は、メールファイルのサイズを調べようとファイルを確認したいのですが、どこにあるのか分かりません。
mailbox:///home/名前/.thunderbird/to4uk7ja.default/Mail/pop3.live.com/Inbox
の場所を、ホームから階層を見ようとするのですが
.thunderbird/to4uk7ja.default/Mail/pop3.live.com/Inbox
以下の階層ファイルが見えません。隠しファイルかと思い、検索をかけましたが、
x-directory/normal (情報) (x-directory/normal)
で「何もありません」とでました。どうしてか分かりません？
基本的に、どこかOSのインストールが悪いのでしょうか？ここまでいくと、主題が変わってしまいそうです。
上記、階層ファイルの件まで良ければご指導お願いします。

お世話になります。.thunderbird 内の Inbox ファイルのサイズを確認して見ました。思ったより小さいです。１メガを切っていました。
それでも、ご指導いただいた処理を試しましたが、変化は見られませんでした。
最後に、メールアカウントを削除、再登録して過去のメールをダウンロードしたところ、問題なく受信し出しました。
先に申し上げましたように、現在環境が悪く、少しずつ受信します。
結果は、おそらくThunderbirdのバグなのでしょう。以前Windowsのライブメールソフトでも同じようなことを経験したのを思い出しました。

いろいろ、お世話になりました。ありがとうございました。