うちは、Chrome関係なく、文字変換・入力中にログアウトされる。
何度かなりましたが、ブラウザ閲覧中ではなく、いずれも変換・入力中です。

ログイン画面に戻ってしまうという現象は、ほとんどの場合、なんらかの理由でX(GUI環境)が維持できなくなってしまい、Xが落ちているという現象だと思います。

Ubuntu 11.04では通常Unityと呼ばれる環境でログインしますが、グラフィックボードの性能が足りず、負荷がかかった瞬間にUnity環境が維持できなくなることがあるのかも知れません。

別の要因として推定されるのはグラフィックドライバ(のようなもの。X Server)にバグがあって、なにかのきっかけにXが落ちているということも考えられます。

いずれの場合にしても、Unityでログインしている場合、ログイン画面でUbuntuクラシックを選択して、従来のGnome環境でログインするか、それでもダメだった場合はUbuntuクラシック(エフェクトなし)を選択して、視覚効果無しのGnome環境でログインすることで回避できるかと思います。

上記で回避できたとして、根本的な原因の特定までは至りませんが、可能性としてはGPUの性能不足の線が怪しいかと思います。ハードウェアの型式なども考慮し、性能不足が原因そうであれば、より新しいGPUに交換することで解決できるかと思います。
ハードウェア型式からして、性能不足とは考えがたい場合、ドライバに問題がある可能性があるため、他のドライバ(Radeonの場合は、radeonドライバとfglrxドライバが使えます。NVidiaの場合はnouveauドライバとnvidiaドライバが使えます)で回避できないか試す、あるいは、gitの最新ドライバを試してみるなどが対策として考えられます。

もちろん、UnityにこだわらなければGnome環境のまま使うのもよいでしょう。
どうしてもUnityが動作させられないけれども、Gnomeは使いたく無いという場合は、Unity 2Dで代替するなども手です。

何名かの方が同様の症状で投稿されていますが、根本の原因はそれぞれ別(GPU/ドライバはそれぞれ別のものを使っている)と考えられます。
もし、上記の対応で解決できない場合は、それぞれのハードウェアの型式など詳細をそえて、新規にトピックを起こしていただいて、そちらで議論した方が良さそうです。