さて、ubuntu restricted extras　のインストールはしたのでしょういか。
Ubuntuソフトウェアセンターを起動、「ubuntu restricted extras」を検索してインストールします。

通常は、libdvdcss2がインストールされればDVD再生が可能なはずなんですが　synapticパッケージ・マネージャーでlibdvdcss2　が入っているか確認したほうがいいでしょう。

念の為、パソコンの型番、自作の場合、マザーボード　ＤＶＤドライブの型番等　提示していただければ他の方々が答えてくれると思いますが。

質問者に失礼かもしれませんが
ちょっと思いついたのですが、
まさか、レンタルしてきたＤＶＤがBlu-ray Disc　というのは、ないでしょうか。

Ubuntu11.10で自分も試してみました。

https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Others/HowToPlayDvd

上記URLの「Ubuntu 9.04、 9.10、 10.04 および 10.10 (i386, amd64)」
を実行したところ、VLCでDVDを見ることができました。
お試しください。

以前にコピーしていたＤＶＤは再生できるんですが・・・・
何かに引っかかってるんでしょうかね？

$ sudo apt-get install libdvdread4 を実行するとはどのような入力作業になるのでしょうか？
端末を開いて、からは作業できるんですが・・・・

ご指示通り作業を行い、KaffeineというソフトでレンタルＤＶＤを再生しようとすると、
Read error from:Error reading NAV packet.
という表示が出て再生できません。
VLCではなにもはじまりません。

たしかにご指示のものはインストールされていますが、だめです。

こんなかんじですが

mine@mine-Latitude-E4300:~$ sudo apt-get install libdvdread4
[sudo] password for mine:
パッケージリストを読み込んでいます... 完了
依存関係ツリーを作成しています               
状態情報を読み取っています... 完了
libdvdread4 はすでに最新バージョンです。
アップグレード: 0 個、新規インストール: 0 個、削除: 0 個、保留: 6 個。
mine@mine-Latitude-E4300:~$ sudo /usr/share/doc/libdvdread4/install-css.sh
--2012-01-28 12:58:26--  http://packages.medibuntu.org/dists/natty/free/binary-i386/Packages
packages.medibuntu.org をDNSに問いあわせています... 88.191.127.22
packages.medibuntu.org|88.191.127.22|:80 に接続しています... 接続しました。
HTTP による接続要求を送信しました、応答を待っています... 200 OK
長さ: 7997 (7.8K) [text/plain]
`/tmp/dvdcss-fxjBzz/Packages' に保存中

100%[======================================>] 7,997       27.6K/s   時間 0.3s 

2012-01-28 12:58:28 (27.6 KB/s) - `/tmp/dvdcss-fxjBzz/Packages' へ保存完了 [7997/7997]

--2012-01-28 12:58:28--  http://packages.medibuntu.org/pool/free/libd/libdvdcss/libdvdcss2_1.2.11-0.0medibuntu1_i386.deb
packages.medibuntu.org をDNSに問いあわせています... 88.191.127.22
packages.medibuntu.org|88.191.127.22|:80 に接続しています... 接続しました。
HTTP による接続要求を送信しました、応答を待っています... 200 OK
長さ: 39536 (39K) [application/octet-stream]
`/tmp/dvdcss-fxjBzz/libdvdcss.deb' に保存中

100%[======================================>] 39,536      24.7K/s   時間 1.6s 

2012-01-28 12:58:30 (24.7 KB/s) - `/tmp/dvdcss-fxjBzz/libdvdcss.deb' へ保存完了 [39536/39536]

(データベースを読み込んでいます ... 現在 158507 個のファイルとディレクトリがインストールされています。)
libdvdcss2 1.2.11-0.0medibuntu1 を (.../dvdcss-fxjBzz/libdvdcss.deb で) 置換するための準備をしています ...
libdvdcss2 を展開し、置換しています...
libdvdcss2 (1.2.11-0.0medibuntu1) を設定しています ...
libc-bin のトリガを処理しています ...
ldconfig deferred processing now taking place
mine@mine-Latitude-E4300:~$

すみません。実行済みでしたね。
ちょっとじっくり見てみます。お待ちください。

メッセージは私のPCで実行したものと同じでした。
私の環境では以下のような手順でDVDが見れています。

VLCを起動する
DVDを入れる
VLCの画面上のメニューから「メディア」ー「ディスクを開く」を選択
出てきた画面の「ディスク」タブの「ディスク選択」の「DVD」にチェックを入れて「再生」ボタンを押す

以上です。
これを実行したらどうなりますか？

自分の環境では、
UbuntuソフトウェアセンターでKaffeineをダウンロードして
端末で以下
sudo /usr/share/doc/libdvdread4/install-css.sh

を実行したところ、正常にDVDを見ることができました。

ちなみに、KaffeineやVLCはUbuntuソフトウェアセンターでインストールしたんですよね？

もし、
Ubuntuソフトウェアセンターでインストール、
または端末でapt-getを実行してインストールしたのであれば
最新版が入っていると思われます。

それで今回のような不具合があるのであれば
DVDドライブが壊れていると思うのですが
詳しい方から見て、皆さんどう思われますか？

レンタルのＤＶＤは見れませんが、以前コピーしたものは見れます。
ディスクは他のwindowsＰＣで再生できます。

ハード、ディスク共に異常はないと思うのですが。

打つ手なしみたいですね。

よほどubuntuと相性が悪いのでしょう。

いろいろとありがとうございました。