Since the script you are attempting to invoke has been converted to an
Upstart job, you may also use the start(8) utility, e.g. start dovecot
dovecot start/running, process 20247

あなたが起動しようとしたスクリプトはアップスタートジョブに変換されていますので、
sudo start dovecot のように、スタートユーティリティを使ってください。
dovecotはプロセス20247でスタートしています。

ということなので、動いているので問題はないのでは。

sudo /etc/init.d/dovecot start]

でスタートさせたので、これからは

sudo start dovecot

でできますとのコメントです。

Upstart というのがなんだろかという認識ですが、教えて欲しいです。
外部には接続しないで使うものです。

Upstartはinitプロセスなのでサーバーか否かによらないので、外部には接続するかどうかは関係ありません。
Upstartについては、Ubuntuwikiを参照するか、日経Linux2011年8月号～2012年1月号に連載されていましたので参考にしてください。
Upstartに登録されたサービス（例dovecot）は

sudo start dovecot
sudo status dovecot
sudo stop dovecot

ですが、SysVinitとある程度の互換性がありますので、SysVinit用のスクリプトを削除していなければ、

sudo service dovecot start　
sudo service dovecot status
sudo service dovecot stop

でもできると思います。