おそらく、こちらに報告されている「SSE2の実装されていないプロセッサを積んだマシン環境で起こる現象」なのではないでしょうか。
参照： https://bugs.launchpad.net/ubuntu/+source/adobe-flashplugin/+bug/968759

私のところにあるマシンにはSSE2が実装されていませんので、Flashがクラッシュします。
「 cat /proc/cpuinfo 」コマンドを実行して確認してみてください。

$ cat /proc/cpuinfo
processor       : 0
vendor_id       : GenuineIntel
cpu family      : 6
model           : 8
model name      : Pentium III (Coppermine)
stepping        : 10
microcode       : 0x1
cpu MHz         : 1002.292
cache size      : 256 KB
fdiv_bug        : no
hlt_bug         : no
f00f_bug        : no
coma_bug        : no
fpu             : yes
fpu_exception   : yes
cpuid level     : 2
wp              : yes
flags           : fpu vme de pse tsc msr pae mce cx8 sep mtrr pge mca cmov pse36 mmx fxsr sse
bogomips        : 2005.10
clflush size    : 32
cache_alignment : 32
address sizes   : 36 bits physical, 32 bits virtual
power management:

ちなみに、リンク先にもありますように「Google Chrome」なら問題ないということから、NPAPI用Flash Player限定の問題のようです。
ということで、上記に該当する場合の解決方法は、
　1. Google Chromeに同梱されている「libgcflashplayer.so」を「~/.mozilla/plugins/」フォルダにコピーする。
　　セキュリティの観点からGoogle Chromeがアップデートされるたびにコピーする必要あり。
　2. オープンソースなgnashで凌ぐ。
　　安定性、軽快性に問題あり？
　3. セキュリティリスクを覚悟の上でバージョンの古いFlash Playerを使用する。
　　非推奨。
　4. Flashを諦めてHTML5のページのみで我慢する。
　5. Firefoxを諦めてGoogle Chromeを使用する。
辺りになるかと思います。

（問題は、Adobeがこの問題を修正してくれるのかどうかというところですかね。話によるとLinuxのNPAPI用Flash Playerはバージョン11.2で最終となるらしいですし、同バージョンはここまで２度ほどアップデートがあったかと思うのですがビルドオプションだけの問題であれば既に修正されていてもおかしくないと思いますので、あくまでも個人的な見解ですが、何だかAdobeが切り捨てにかかっているように感じられます。とりあえず、11.2のサポートは５年ということのようなので、その間に修正されることを期待したいところです）

私も kyorozii さん同様3月末頃からFlashを利用している Youtube やNHKのらじるらじるなどがずっと使えなかったのですが、「 cat /proc/cpuinfo 」コマンドを実行してみたところ、確かに flags の項目に SSE2 が出て来ませんでした。

ちなみにこんな感じでした（flagsのところだけ）。
flags        : fpu vme de pse tsc msr pae mce cx8 mtrr pge mca cmov pat pse36 mmx fxsr sse syscall mp mmxext 3dnowext 3dnow up


そこでTemper さんの書かれていたとおり、
１　Google Chromeをインストールする。
２　次のコマンドでリンクを貼る。
　　　mkdir -p ~/.mozilla/plugins/
　　　ln -s /opt/google/chrome/libgcflashplayer.so ~/.mozilla/plugins/
を実行したところ、無事 Flash を使っているサイトやサービスも利用できるようになりました。

どうもご教示ありがとうございました。

蛇足ですが、不具合が発覚して２ヶ月近く経つというのに、Adｏbeは修正するつもりがないのでしょうかねえ。過去の（？）CPUなど相手にしないということかな。現役で使っている人も結構いると思うのですが。