hirotoshi02さん、こんにちは（こんばんわ）。
私は、Radeon HD 6870 なので参考までに。
まず、いくつか確認させてください。画面動作が不安定になるのは、追加のドライバ（プロプライエタリ）のFGRAXドライバを適用したらということでよろしいでしょうか？
1.AMDのサイトをみると、Radeon7XXX系は、Catalystのみという記述があるようですがプロプライエタリドライバを適用しないときは正しく動作していますか？
2.追加のドライバ画面からの適用ではなくAMDのサイトにいくといくつか手順があります。おそらくRadeon7XXX系は6/28にリリースされたAMD Catalyst™ 12.6 Proprietary Linux x86 Display Driverをダウンロードして、適用しないといけない気がします。
AMDのサイト（http://support.amd.com/jp/Pages/AMDSupportHub.aspx）の画面に『ドライバーのダウンロード』というドロップダウン形式でコンポネント・カテゴリで『デスクトップ向けグラフィックス』→『Product Line』で『Radeon HD Series』→『Product Model』で『Radeon HD 7XXXSeries』で最後にOSでこれはどちらでもいいかもですがLinuxを選択すして『View Results』ボタンを押下すると該当のドライバをダウンロードできます。また同画面の『Unofficial Wiki for the AMD Linux Driver *』を押下しますと英語のみではありますがドライバの適用方法が記述されています。右の薄緑の"Distributions"の項目一覧にUbuntuを選択して"0Precise 12.04"に詳細が記されています。手順としてはおおまかですが"Before you start"から”In case of failure:”の直前までが手動（端末画面）で行う作業になると思います。"Before you start"の項目は、流れとしては、パッケージを組み立てるから、32ビット版か64ビット版のライブラリをダウンロードしてね。"Download the latest Catalyst package"の項目は次にドライバを保存するためのディレクトリ（フォルダ）を作ってね。次にドライバをダウロードしてね。ダウロードしたドライバにアクセス権限を付与してね。という流れのようです。”Create and install .deb packages.”の項目でドライバのインストールになります。また自分もまだまだ未熟なのでキチンとしたアドバイスができればいいのですが、最後に”sudo amdconfig --initial -f”が必要になるかもしれません。これは”xorg.conf ”を自動生成してくれるCatalystのコマンドのようです。私の環境でも、起動時のUbuntuの起動画面が美しなかったり（笑）、再起動時や終了時に正常に終了できなかったりといろいろ情報収集をしてます（笑）お互い、楽しみながら頑張りましょう(^_^)

追記しておきます。

インストール画面が、正常に終了しないという件については、Ubuntuのalternate CDを利用してUbuntuのインストールがコマンドラインで可能でした。

ドライバの件につきましては、Ubuntuから提供されているRadeon HDのドライバを適用すると、モニタの右下に、Unsupported Driverのような表示が出てきて、ドライバを適用しても不安定なままでした。リリースアップデートのRadeon HDのドライバは、適用するときにエラーが出てきて適用できませんでした。

そこで、AMDの公式サイトからRadeon HD 7000 SeriesのLinux用のドライバをダウンロードしてきました。あらかじめ必要なパッケージはインストールしておき、--buildpkg Ubuntu/preciseを試してみたところ、エラーが起きてビルドできませんでした。なので、インストーラから自動でインストールしてドライバを適用しました。

amdconfig --initial -fを念のためにコマンドで実行し、xorg.confを生成しました。そして、再起動して、コマンドでインストールできたかどうかを確認しました。確認したところ、3D処理が出来るようになりました。

試しに3DゲームのOpenArenaを実行してみましたが、パッケージが悪いせいか、画面が黒くなったままで実行できませんでした。この時点でちょっと怪しい感じがしますが、もうちょっと試してみようと思います。

Radeon HD 7750を増設した際のサウンド機能の障害を引き続き、皆様にご教授願いたいと思います。
では、よろしくお願いします。

ご返信ありがとうございます。自分も hirotoshi02さん の情報を元に 勉強を兼ねて グーグル先生にいろいろ問い合わせしています（笑）
Radeon HD 7750 の件で ちょっとだけ気になった情報の報告です（ご存知、または対策済みでしたら申し訳ありません）
ご使用のPC（パーソナルサーバですかね？）の搭載電源が400W、一方 Sapphire Radeon HD 7750の推奨システム電源容量は450W以上となっているようです。ドライバのビルドの件ですが、自分も Radeon HD 6870 で構築すると全部は転載しませんが以下のような感じで途中怒られます（笑）
ureadahead のトリガを処理しています ...
ureadahead will be reprofiled on next reboot
fglrx-updates (2:8.960-0ubuntu1) を設定しています ...
update-alternatives: /etc/ld.so.conf.d/i386-linux-gnu_GL.conf (i386-linux-gnu_gl_conf) を提供するために 自動モード で /usr/lib/fglrx/ld.so.conf を使います。
update-alternatives: 警告: 関連する (リンクグループ i386-linux-gnu_gl_conf の) ファイル /usr/lib/fglrx/etc/OpenCL/vendors/amdocl64.icd が存在しないので、/etc/OpenCL/vendors/amdocl64.icd の作成をスキップします。
update-alternatives: 警告: 関連する (リンクグループ i386-linux-gnu_gl_conf の) ファイル /usr/lib32/fglrx/libaticalcl.so が存在しないので、/usr/lib32/libaticalcl.so の作成をスキップします。 〜中略〜
fglrx_updates:
Running module version sanity check.
- Original module
   - No original module exists within this kernel
- Installation
   - Installing to /lib/modules/3.2.0-26-generic-pae/updates/dkms/

depmod......

DKMS: install completed.
update-initramfs: deferring update (trigger activated)
bamfdaemon のトリガを処理しています ...
Rebuilding /usr/share/applications/bamf.index...
fglrx-amdcccle-updates (2:8.960-0ubuntu1) を設定しています ...
initramfs-tools のトリガを処理しています ...
update-initramfs: Generating /boot/initrd.img-3.2.0-26-generic-pae
libc-bin のトリガを処理しています ...
ldconfig deferred processing now taking place

ここまできたら”sudo amdconfig --initial -f”を行なって一度シャットダウンしています（リブートでOKみたいなログはありますが）

＞VESA VERD これは 7XXX系のコードネームでしょうかねぇ。自分だと”VESA: BARTS”と表示されています。(6800系のコードネームのようです)
また３Dの動作確認ですが自分は、Linuxのゲームでは行なってはいませんんが Unity3D で動作していることと、これはオープンソースのドライバだけですとWineをインストールしてFF11ベンチで正常に表示されないのですが、プロプライエタリドライバを適用すると正常に表示されます。Windowsみたいに、客観的にが判断できるGPU系のベンチマークソフトとかあるんですかねぇ？

音源の不具合は、一昔前だと 本体のALC888SとVGAのHDMIで出力される音源とリソースで喧嘩してるなんてことがありえますが今は大丈夫そうですよねぇ。
雰囲気からしてドライバが喧嘩して固まっているような気がしますが識者の方ご覧になっていらっしゃいましたらご教授お願いいたします。ちなみにExpress5800 S70 タイプPJはスピーカーを内蔵しているようですが、外部出力ジャックから音が出力されるか確認されたでしょうか？（的外れぽいアドバイスですみません）

”Ubuntuのalternate CD”これは自分も知らなかったので勉強になりました。WindowsでいうところのセーフモードでUbuntuをインストールするためのディスクという解釈でいいんんでしょうか？公式のRimixiCDか本家ではセーフモードぽいOSのインストールってできないんですかねぇ。パターン的には、GPUなしの状態でますOSのインストールしてからGPUを装着してからドライバのインストールができれば一番いいような気がするのですが、どうなんでしょうか？

以上、現時点での調査結果です。長文失礼いたしました。

問題解決 おめでとうございます！！