お騒がせしました。doji です。

以下の設定で私が思っていたように動きました。
（外国人が使うということで、私の環境では US キーボードをつないでいます。日本語キーボードのときにはどうなるのか試していません）

System Settings -> Language Support について：
[Install / Remove Languages...] ボタンからは日本語をインストールしておきます。
Language for menus and windows: には English (US), English だけにします。日本語を入れてはいけません。
Keyboard input method system は ibus にしておきます。

System Settings -> Keyboard Layout について：
English (US) になっていることを確認します。

System Settings -> User Accounts について：
Language が English (US) になっていることを確認します。

この状態で一度 reboot すると、GUI の言語は英語ですし、Libre Office のメニューなども英語のままです。

ここで ibus preference を開き、
Input Method タグを開くと、そこには何もない状態になっているので、[customize active inputmethods] ボタンにチェックを入れて、[Select an input method] から Japanese - Anthy を選び、右横の[Add] ボタンを押します。
また、General タグでは切り替えのコマンドキーを設定します。

これで無事に、英語のメニューの GUI の中で gedit, LibreOffice などの中で日本語を入力できるようになりました。

ubuntu で日本語を使うためには、Language for menus and windows の中に日本語をいれなくてはならないのだ、と思い込んでしまったのが間違いでした。入力するだけなら、日本語をインストールすること、input method を設定することだけが必要なんですね。
なぜ Language for menus and windows を English(US)->日本語->English の順にしたのに、English(US) が優先されずに、メニューが日本語になってしまうのかは謎のままですが...

ubuntu を使うのは初めてなのでまたお聞きすることもあると思いますが、今後ともよろしくお願いします。