こんにちは。
個人的な経験ですが、ここ5年ほどUbuntu上のFirefoxを使ってクレジットカードで決済したりしてますが、全く問題はないようです。

FirefoxはWindowsその他で使われるのと同じ程度のセキュリティ上のリスクがあります。が、Ubuntuだから特にリスキーということはないでしょう。
いわゆるマルウェアなどにも気をつける必要がありますが、ソフトウェアをUbuntuSoftwareCenter経由でしか導入せず、怪しげなPPAなどのリポジトリを登録していなければ、そこまで気を使う必要はなさそうです。
Updateに関しては、基本的には最新に保つ方が良いのはWindowsと同様です。