ryさんご教示ありがとうございます。
未だ、正しく動作しないので引き続きご教示いただけますでしょうか?
yama@jps20120007:~$ ls -F /sbin/dh*
/sbin/dhclient*  /sbin/dhclient-script*  /sbin/dhclient3@
dhclient-scriptから ry さんのスクリプトが実行されているのかどうか確認する術とかございますでしょうか?
後、DHCPでIPが割り当てられ際に、hostname(FQDN)通知時に、どこかのログに吐き出されるのでしょうか?

yama@jps20120007:~$ cat /etc/hostname
jps20120007.ifs.company.co.jp
yama@jps20120007:~/howm$ lsb_release -a　← lsb_release で出力し直しました。
No LSB modules are available.
Distributor ID:    LinuxMint
Description:    Linux Mint 12 Lisa ← Linux Min 12 です。
Release:    12
Codename:    lisa
yama@jps20120007:/etc$ ls dhc*
dhcp:
./  ../  dhclient-enter-hooks.d/  dhclient-exit-hooks.d/  dhclient.conf

dhcp3:
./  ../  dhclient-enter-hooks.d/
yama@jps20120007:~/etc$ cat ddns_update ← ryさんのページからスクリプトをcopy
#!/bin/sh
SED=/bin/sed
PHASE=`echo "$script" | $SED -e 's%^.*/[^/]*-\(enter\|exit\)-.*/[^/]*$%\L\1\E%i'`
NSUPDATE=/usr/bin/nsupdate

HOSTNAMEFILE=/etc/hostname
get_fqdn() {
    #=- $1  ... domain name
    #=- ret ... FQDN; Null string when there is no hostname file
    ###
    local HOSTNAME
    [ -s $HOSTNAMEFILE ] && read HOSTNAME <$HOSTNAMEFILE
    [ -n "$1" -a -n "$HOSTNAME" ] && echo "$HOSTNAME.$1."
}

AWK=/usr/bin/awk
cnv_ip4_inaddr() {
    #=- $1  ... ip4 address
    #=- ret ... in-addr string
    ###
    [ -n "$1" ] && echo `echo $1 | $AWK -F . '{ printf( "%d.%d.%d.%d.in-addr.arpa.", $4, $3, $2, $1 ) }'`
}

case ${reason} in
    BOUND|RENEW|REBIND|REBOOT)
        if [ $PHASE == "exit" ]; then
            new_fqdn=`get_fqdn ${new_domain_name}`
            new_inaddr=`cnv_ip4_inaddr ${new_ip_address}`
            if [ ! -z ${new_fqdn} ]; then
                $NSUPDATE <<__END__
update add ${new_fqdn} 3600 IN A ${new_ip_address}
send
update add ${new_inaddr} 3600 IN PTR ${new_fqdn}
send
__END__
            fi
        fi
        ;;
    EXPIRE|FAIL|RELEASE|STOP)
        if [ $PHASE == "enter" ]; then
            old_fqdn=`get_fqdn ${old_domain_name}`
            old_inaddr=`cnv_ip4_inaddr ${old_ip_address}`
            if [ ! -z ${old_fqdn} ]; then
                 $NSUPDATE <<__END__
prereq yxrrset ${old_fqdn} IN A ${old_ip_address}
update delete ${old_fqdn} 3600 IN A ${old_ip_address}
send
prereq yxrrset ${old_inaddr} IN PTR ${old_fqdn}
update delete ${old_inaddr} 3600 IN PTR ${old_fqdn}
send
__END__
            fi
        fi
        ;;
esac

yama@jps20120007:~/etc$ sudo cp ddns_update /etc/dhcp/dhclient-enter-hooks.d/ ← enter-hooks.dへcopy
[sudo] password for yama:
yama@jps20120007:~/etc$ sudo cp ddns_update /etc/dhcp/dhclient-exit-hooks.d/ ← exit-hooks.dへcopy
yama@jps20120007:~/etc$ nslookup ← nslookup で確認
> server
Default server: XX.15.126.4
Address: XX.15.126.4#53
Default server: XX.7.134.253
Address: XX.7.134.253#53
> jps20120007.ifs.company.co.jp ← DNS引けない
Server:        XX.15.126.4
Address:    XX.15.126.4#53

** server can't find jps20120007.ifs.company.co.jp: NXDOMAIN
> jps20120006.ifs.company.co.jp ← DNS引けている
Server:        XX.15.126.4
Address:    XX.15.126.4#53

Non-authoritative answer:
Name:    jps20120006.ifs.company.co.jp
Address: XX.11.165.115

ryさん、アドバイスありがとうございます。

DHCPでのIPアドレスの再取得はしており、IP等は問題なく取得出来ています。
で、スクリプト中に、

#!/bin/sh
SED=/bin/sed
PHASE=`echo "$script" | $SED -e 's%^.*/[^/]*-\(enter\|exit\)-.*/[^/]*$%\L\1\E%i'`
NSUPDATE=/usr/bin/nsupdate
...
echo "tako" > /tmp/ddns_update.log # ← 追加
...

echoした内容を、/tmp/ddns_update.log というファイルに落とすコマンドを追加しましたが、
DHCPでIP再取得できているのですが、ファイルが作成されず、全くスクリプト呼ばれていない事が分かりました。

そこで、/etc/dhcp/dhclient.conf をもう一度よーく確認したら
...
#script "/etc/dhcp3/dhclient-script";
...
となる行があり、これを有効にすれば正しく動作すると考えました。

yama@jpx20120007:/etc/dhcp3$ ls
./  ../  dhclient-enter-hooks.d/

なるディレクトリが既にあったので、この下のスクリプトを置き、DHCPでIP再取得したところ、グルグルと
IP再取得を行いつづけ、最終的には、IP取得に失敗します。

とこんな状況なのですが、他に確認するところがあればご教示下さい。