私も「Ensoniq 5880B [AudioPCI]」を使用していますので、10.04をインストールして確認してみました。
私のところではアップデート後でも特に問題もなく認識し音も出ていますので、標準の状態であれば正常に機能するような感じです。

それで、投稿#1の内容を見るとドライバーが読み込まれていないようにも見受けられるのですが、そのようなことはありませんでしょうか？　念の為に「端末」で「 lspci -vnns 00:0a.0 」を実行して「Kernel driver in use: ENS1371」が存在するか確認してみてください。
そして、ログファイルの「/var/log/dmesg」を開いて「snd_ens1371」や「ENS1371」に関するメッセージが記録されていないか確認してみてください。
それと、古いカーネルが存在するようでしたら、古いカーネルで起動させた場合はどうなのかというのも確認してみてください。


alsaconfについては「/usr/share/doc/alsa-utils/NEWS.Debian.gz」ファイルを読むのが良さそうです。

lspciの結果にデバイスが現れていますのでPC自体は認識しているとみてよいです。

それはそれとして、仕切り直しという感じになってしまい申し訳ないのですが、再確認させてください。
まず、「/var/log/dmesg」の件ですが、私の認識が甘かったようで、もしかしたら同ファイルには期待した記録が残されていないかもしれません（このファイルにはシステム起動時からのメッセージが記録されているのですが、一定量しか記録されません。で、このサイズが私の想像よりも小さく、私の環境では記録が残っていないこともありました）
ですので、システムを再起動させてから下記コマンドを実行し、その内容を投稿してみてください。（dmesgコマンドの場合は現時点までの一定量を出力します。下記はそこからegrepで対象を絞り込んでいます…、良し悪しは別にして）

dmesg | egrep -C 3 -i 'ens1371|00:0a\.0'

それと、下記コマンドの実行内容も投稿してみてください。

lspci -vnns 00:0a.0
lsmod | grep snd

下記の確認もお願いします。

Templer による投稿:

それと、古いカーネルが存在するようでしたら、古いカーネルで起動させた場合はどうなのかというのも確認してみてください。

※ PCの起動時にGRUBメニューが表示されない場合はPCの起動時からシフトキーを押しっぱなしにしていればメニューが表示されますので、それから古いカーネルを選択してください。

また、LiveCDで機能するのかというのも確認してみてください。不具合が起きる前の環境で正常に機能するのであればハードの故障という線は切り捨てられます。ついでに各情報を確認して違っている部分がないか調べてみるのも不具合の解決に役立ったりします。