的確な助言をありがとうございます。ご指摘の通りE135はAMD Radeonです。
プロプライエタリドライバを知らなかったので、早速試しました。

追加のドライバ一覧には
「ATI/AMDプロプライエタリFGLRXグラフィックスドライバー」
「ATI/AMDプロプライエタリFGLRXグラフィックスドライバー（リリースアップデート）」
の２種類が出ました。両者の違いは何でしょうか？

先にリリースアップデートの方を有効にしようとしましたが、エラー表示が出て有効になりませんでした。
次にリリースアップデートでない方を有効にしたところ、今度は成功しました。

再起動後、無事にファンクションキーで画面の輝度調節ができるようになりました。
画面の明るさが変えられず困っていたので、大変助かりました。