追加したいプログラムのアイコンをダイレクトにランチャに登録しないで、/usr/share/applicationsに登録します。そうすると登録したアイコンが「Dash」の中に表示されるはずです、そのアイコンをドラッグしてランチャに貼り付けます。
この操作を実行すればアイコンの2重表示はなくなると思います。

増えたアイコンをランチャー上に登録して、そのアイコンをクリックしたところ、プログラムは起動しませんでした。

理由はそのアイコン自体は単なるイメージでプログラムの起動中を表示するだけでリンク機能が存在しないからです。

上の操作で追加したアイコンの起動中の表示はアイコンの左側に小さい三角マーク表示されます。