Adobe AirのUbuntu(って言うかLinux)版ってすでに提供中止になってしまったので下記が参考になるのではないでしょうか。
http://210.225.99.233/book_ent/mainmenu.asp?id=
debパッケージはこちらです↓
http://update.devolo.com/linux/apt/pool/main/a/adobeair/

#2や#3の投稿にある様にlinux版は既に開発が終了されていますが、最終バージョンはadobeのサーバーに残っています。
それをインストールする事も可能です。(アップデートはされないので、セキュリティー等のリスクを負う事になりますが)
アップデートやセキュリティーに配慮したいなら、wine等の上で最新版を使うしかないと思います。


実際にサーバーに残っているlinux版をvirtualbox上のubuntu 13.04で試してみました。

対象(いずれもvirtualbox上にインストールされている。)

1. ubuntu 13.04 beta1以降にリリースされていたdeily build-64bit版(正式リリース後もアップグレードだけし続けていた物)
2. ubuntu 13.04 日本語remixの正式リリース版

いずれもadobeair本体は、ubuntu 12.04LTSの様にgnome-keyringのリンクを貼ってからインストールすれば問題ありません。

airアプリケーションはradikoガジェット ver3.1.1をインストールしてみました。
firefoxで直接インストーラに渡してダウンロードすると"1"のubuntu 13.04では問題なくインストールできて起動し、動作も問題ありません。
しかし、"2"のubuntu 13.04(日本語remix)ではfirefoxから直接インストーラーに渡すとインストールできません。

インストーラーが起動して管理者パスワードを入力した後に小さなCUIっぽいウィンドウが開き、以下のメッセージが出てきます。

This application requires administrative right run
Please enter root パスワード:

ここでsudoのパスワードを入力しても受け付けてもらえず先に進めなくなります。
(rootを有効にしている場合はそのパスワードで受け付けてもらえるかもしれませんが試していません)

結果的に以下の様にする事でインストールできました。

firefoxでインストーラーに渡さずに、ファイルとしてダウンロードしておく。
端末を開いてインストーラーを管理者権限で直接起動する。
$ sudo /usr/bin/"Adobe AIR Application Installer"
するとアプリケーションのairファイルを指定するウィンドウが開くので、ダウンロードしておいた物を指定する。

以上でインストールができ、起動と動作確認もできました。

情報ありがとうございます。
確かに正式リリース版ではインストールされていませんね。
64bit版はdaily-build版のままアップデートだけだったので入っていた様です。