私の環境（Ubuntu 13.04 + Firefox 21）では、Flashblockというアドオンを無効にしたら無事ラジオを聞くことが出来ました。
もしFirefoxに拡張機能をインストールしているのでしたら、全て無効にしてから、試してみて下さい。

Rei-2 による投稿:

ファイヤーフォックス21にAdobe Flash Playerをインストールせよと画面に指示が出ます。Linux版の最終バージョンがダウンロード出来るのですが、ファイヤーフォックスへ反映させる方法がよく分かりません。

↓このコマンドを、端末で実行して下さい。最新のFlashプレイヤーがインストールされます。

sudo apt-get install flashplugin-installer

皆様、貴重な情報どうもありがとうございます。結論から申しますと、ubuntu 13.04におきまして「らじる☆らじる」は良好に受信できるようになりました。端末から　sudo apt-get install flashplugin-installer を実行しました所、最新のフラッシュ・プレーヤー・プラグインがインストールされていますむね表示が出ました。その際、不要なLinuxカーネル・ファイルが4件あり、削除を促されましたので実行しました。そして、システムを再起動しました。問い合わせをしていたNHKからも、調査の上プログラムを修正したと電子メールが届いておりました。特別なことは何も行っていませんが、ubuntu 13.04、Windows8 pro(32bit)の両方で「らじる☆らじる」が聞けるようになり、問題は解決してしまいました。通常のメンテナンスとしまして、端末から sudo apt-get update、sudo apt-get dist-upgrade を実行して、常にコンピュータを最新の状態にしております。なぜ、私のマシンだけ、こんな事になってしまったのか原因が分からないのですが、とりあえず問題は解決しました。アドバイス頂いた皆様には、重ねて御礼申し上げます。

アップデート、アップグレードの方法についてご助言いただきありがとうございます。

sudo apt-get update
sudo apt-get upgrade

ですね。今、端末から実行して正常にアップグレードが行われることを確認しました。「dist-」ですが、どなたかのご助言のなかで記述がありましたので、そののまま実行しておりました。

makopi による投稿:

sudo apt-get dist-upgrade

は、例えば 12.10 → 13.04 にアップグレードしたい時に使います。

ディストリビューションのアップグレードでsudo apt-get dist-upgradeを直接に実行する必要はありませんし
sources.listのリリース名を書き換えてのsudo apt-get dist-upgradeは多分無保証ですよ。
https://wiki.ubuntu.com/RaringRingtail/ReleaseNotes/Ja#Ubuntu_12.10.2BMEswiTBuMKIwwzDXMLAw7DD8MMk-

apt-get dist-upgradeについては、
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?pid=91855#p91855