不具合の原因が wine のバージョンに関連していると思い調べました。新しいものになっています。
$ wine --version
wine-1.7.34

練習も兼ねて Dropbox/Public を使ってイメージを入れてみました。
次のイメージは、Ubuntu 14.04 にインストールした Kindle を起動して、「Kindle に登録」が開かれた状態です。
正常ならば Amazon のログイン画面になるはずです。
成功した方がおりましたら解決法を教えてください。

Kindle が動いているとの回答ありがとうございます。

私の環境には、proxy があります。これが原因かもしれません。
しかし、同じ環境で Windows 7 で kindle が動いています。

Ubuntu では wine を使って windows版 kindle をインストールしている。
この場合 proxy の設定をどう行えばよいのだろうか？
私にとっては新しい問題です。。。

Amazon.co.jp からダウンロードした Kindle for PC を wine を使ってインストールした結果、問題なく使うことができます。
しかしながら、proxy があるネットワークでは kindle を登録できません。すなわち不具合があります。

試行錯誤の結果、
Amazon.com からダウンロードした　Kindle for PC　は 次のようにproxy を設定できて利用できたので報告します。

インストールは　winetricks を使って行った。
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$ wget http://winetricks.org/winetricks
$ chmod +x winetricks
$ winetricks

窓が開く

Install an app  を選択　して OK

kindle を選択して　OK

Wine Mono インストーラー  の窓が開く
ダウンロードできない。　　無視して閉じる。

Wine Gencko インストーラー　の窓が開く
ダウンロードできない。　　無視して閉じる。

無視して実行

Amazon.com から　Kindle をダウンロードしてインストールしたようだ。
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kindle を起動する。
Tool -> Options -> Network で HTTP Proxy が設定できた。
Tool -> Options -> Registration で　Amazon.com に登録できた。
これで Amazon.com の　contents を利用できる。
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wine への proxy を行ったことが効いているかどうかはわかりませんが、実行したので備忘録として書きます。
How do I configure proxy to IE that runs on Wine?
レジストリファイルを使用してクライアントのプロキシサーバー設定を構成する方法

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まとめ
Kindle for PC (Amazon.com) は問題なく動き、 Kindle-J for PC (Amazon.co.jp) は proxy がある場合支障が生じる。
この不具合を解決するのは Amazon.co.jp の開発技術者が行うべきことと思い始めました。
Amazon.co.jp に問い合わせのメールを出しました。今後に期待します。

Kindle for PC が日本語に対応したので早速 Linux（Ubuntu） で動かしてみた の手順に従って　Ubuntu 14.04 にインストールして使っています。（ proxy が無い環境では問題は起こらない）
９月2015 現在のバージョンは Kindle 1.12.1 でした。

Kindle を起動して、登録を Amazon.co.jp にすれば　日本語 e-book を読むことができる。その後、登録を削除し、Amazon.com に登録しなおせば 英語本が追加され読むことができる。、日本語本と英語本両方を読むことができるので、使い勝手がよいです。