Ubuntu17.04や他のLinuxでも動作しないようですので、Linuxで対応していないタッチパッドではないのかと思います。
もう少し新しいLinux(そろそろ出るUbuntu17.10など)だと使えるようになるかもしれないので、そちらを待つぐらいかと思います。
タッチパッドは諦めて、USBマウスなどを使ったほうが良いかもしれません。

Yamazen による投稿:

ありがとうございました。ところで、ネット接続ないとタッチパッドのドライバーがインストールされないことってありますか？
いつも、オフラインでインストールしているのでよく分からないのですが。

使用時に、ネットへつなぎアップデートをしていれば、問題ありません。
私見ですが、Zorin OS 12 は、Ubuntu16.04 ベースのようですので、2010頃発売された、VAIO VPCEB18FJ へのインストール時に認識されないタッチパットが、カーネル関連のアップデートで、対応されることは、あまり期待できないように思います。

2017/08/25にOSの更新を行いましたが、使用できません。