ハードを検索してみましたが、「Dell OptiPlex GX50」ですか？
チップセットはi810Eでグラフィックもチップセット内蔵のものということで合っていますでしょうか？

上記が合致するのであれば下記と同じです。
参照： https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=9743

ですが、私の環境では（シャットダウンの確認はしていませんが）対策せずとも問題が起きなくなっていますので、現在は修正されている模様です。
ということで、まずはセーフモードで起動させて、「システム」メニューにある「アップデート・マネージャ」でアップデートさせてみてください。

了解です。
「Dell OptiPlex GX50」はネットで検索するとi810Eのはずですので、チップセット周りというよりグラフィック周りのプログラムによる影響のほうが疑われますので、グラフィックチップの確認をしてください。「アプリケーション」メニューにある「端末」を起動させて、下記コマンドを実行するとハードの構成が表示されます。

lspci

実行結果にある「VGA」の部分がグラフィックチップを表しています。kouheiさんの反応から察するに、おそらくグラフィックボードは追加されていないと思いますので、下記のような結果になるかと思います。

00:01.0 VGA compatible controller: Intel Corporation 82810E DC-133 (CGC) Chipset Graphics Controller (rev 03)

この「82810E」がi810Eチップセットの内蔵グラフィックになります。

セーフモードでのアップグレードに関しては、おそらく下記コマンドを「端末」で実行してから（「端末」を閉じずに）アップデート・マネージャを起動させると認証できるようになるかと思います。
「再チェック」でパッケージ情報を更新してからアップデートしてください。

/usr/lib/policykit-1-gnome/polkit-gnome-authentication-agent-1 &

シャットダウンは改善されていませんでしたか。
どちらにせよ、グラフィックチップがi810EであるのならDRI（3Dハードウェア支援の機能を司るモジュール）は無効にしていただいていたと思います。
というのは、言い忘れていたのですがi81xグラフィックチップではDRIを有効にしているとDRIを利用するアプリを使用するとシステムがフリーズしてしまうことがあったりするのです（私の環境ではスクリーンセーバーの「AntSpotlight」を起動させるとフリーズしてしまいます）。なので、kouheiさんが行なわれたようにウィンドウシステムの設定ファイル「/etc/X11/xorg.conf」にDRIを無効にするオプション（Option  "DRI"  "false"）を定義するのが最善だったりします。
ともあれ解決してよかったです。

kouhei による投稿:

Templerさんは、どうしてこの様なコマンドが分かるのですか？よろしければ、教えてください。

うっ、この手の質問が一番どぎまぎしてしまうのですが、どうなんでしょう。このフォーラムを見ていると少しずつ理解できるようになってくるのかなぁ、という答えでどうでしょうか（汗）

kouhei による投稿:

DRIを無効にするオプションを無効にしてしまうと、起動できないアプリが出たりしますか?

えっと、「DRIを無効にするオプションを無効に」だと「DRIを有効にする」ということになるのですが、仰りたかったことは「DRIを無効にすると」ということでよろしいでしょうか？　流れ的にはそうだろうと思いますのでその解釈で述べますと、基本的には重たくなるというだけであって動作しないということはそうそう無いと思って頂いて良いかと思います。（私が遭遇していないだけなのかもしれませんが）

ただ、i81xなグラフィックチップの3D性能は貧弱ですので、DRIを有効にしていたとしてもそのスペック的な条件から作動を拒否されるということもあります。例えば、Compizという派手な視覚効果表現機能の付いたウィンドウマネージャがこれに該当します。「外観の設定」で視覚効果を有効にしようとしてもできないのがこれです。

また、それとは別に、DRIはDRIでもDRI2モジュールを前提としたものというのがちらほらと出はじめているような気はします。このDRI2モジュールはi81xなグラフィックでは（現時点では？）使用することができないので、これからは動かないものというのが増えてくるかもしれません。
（その代表となりそうなのが、UbuntuがUbuntuの標準のウィンドウシステムにと目論むWaylandで、これはDRI2を前提としているようです。将来的にはかなり厳しい境遇にさらされそうですね）

で、Quadrapasselなんですが、DRIを有効にしていても起動できませんでしたので別問題のようです。

すみません、下記はちょっと違うようなので無しの方向でお願いします。

Templer による投稿:

その代表となりそうなのが、UbuntuがUbuntuの標準のウィンドウシステムにと目論むWaylandで、これはDRI2を前提としているようです。

kouhei による投稿:

『Quadrapasselなんですが、DRIを有効にしていても起動できませんでしたので別問題のようです。』と言いますと、TemplerさんのPCもQuadrapasselも起動できないんですか?
起動させる方法はないんでしょうか?　PCとの相性とかの問題でしょうか?

Quadrapasselについては、此処とはかけ離れた話となるので新たにトピックを立ち上げてください。