セキュリティについて誤解されている様です。そもそも比較する対象に該当しません。
クレジットカード等の個人情報については、Ubuntu、Windows等のOS側では関知しないです。

どちらのOS環境でも、Webプラウザを利用されて当該のホ−ムペ−ジに入られると思います。
そのときその場所での運用形態にセキュリティは依存します。
だから怪しげなホ−ムペ−ジにはアクセスしないことです。
みんなが利用している場所なら、セキュリティ面も考慮して運用されているので比較的安全です。
安全対策を講じていますとアピ−ルしていることが前提条件で、後は事故責任です。

私はUbuntu環境で、ネットでの購入をよく利用しています。
本の購入、PC shopで部品の購入、航空会社でのチケット購入、ホテルの予約、、、　よく利用していす。
その際、クレジット情報を相手に提示していますが、未だ不具合に遭遇した経験は皆無です。

クレジットカードに限らず、外部からの不正侵入による情報漏えいについて考えてみると、 全く対策をしていない状態では "現段階では" Ubuntu(Linux) の方が安全と言えると思います。
それはLinuxユーザーが少ない現状でクラッカーにとってLinuxを標的にすることは美味しくないからです。
自分の場合はパソコンとインターネットの間に無線LANルーターがあるだけで、ウイルス駆除ソフト等は導入していませんが、Ubuntuでウイルスに感染したことはありません。

どちらのOSも長い間改良に改良を重ねてきたものなので、適切にアップデートされた状態で簡単に乗っ取られることは殆ど無いと思いますが、だからといって油断できるわけではありません。そのサイトは信頼できるのか、通信は暗号化はされているのかなど、日頃から注意する必要があります。