繋がらないというのが具体的にどのような状態なのか分からないので適切な回答ができませんが、以下の質問をされたとき (2017.6月) には apt-get でパッケージのインストールができているので、ネットワークには問題が無かったような気がします。

Ubuntu 17.04でのThunderbirdのインストール方法

この質問では 17.04 を使っていると述べられていますが、このときには PLC で繋いでいなかったのでしょうか。
このときには既に PLC で繋いでいたのなら、16.04 を再インストールして使われていて、その後に 17.04 にアップグレードされたのでしょうか。
この辺りの状況がよく分かりませんが、PLC の利用と 16.04、17.04 の違いは無関係のはずです。
PLC 云々というよりも、17.04 にしたときにネットワーク周りを正しく設定していない可能性の方がかなり大きいでしょう。
16.04 のときにどのようなネットワークに設定をしていて、17.04 ではどのようにしたのかを見比べるのが一番の解決策に思えます。

なお、質問時にはできるだけ具体的に、何をしようとしてその結果なにが起きたのかを記載するようにしてください。
単に「繋がらない」だけでなく、「Firefox で https://www.google.co.jp を表示させたら、白くしか表示されない」とか、「ping www.google.co.jp を実行したら『unknown host』になった」と書くと、アドバイスがもらいやすくなります。



ところで本件とは関係ありませんが、今までにいくつも挙げられているこれらの質問が解決したのか、少々気になっています。

一度インストールしたのに、もう一度インストールしなくちゃいけないの？
Eclipse を起動したあと時間が経つとエラーがでる。
サポートされなくなったバージョンのOS
Ubuntu16.04の起動中にとある文字列が表示されます。
アップデートとアップグレード
thunderbirdについて！
Flash Playerのインストール方法を教えて！